2300. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

x > 0

Primetimo da se izraz $2^{2\log_{16} x - 1}$ može zapisati pomoću osnove 4:

2^{2\log_{16} x - 1} = \frac{2^{2\log_{16} x}}{2} = \frac{(2^2)^{\log_{16} x}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4^{\log_{16} x}

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

4^{\log_{16} x} - 3^{\log_{16} x - \frac{1}{2}} = 3^{\log_{16} x + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 4^{\log_{16} x}

Grupišemo članove sa osnovom 4 na levu stranu, a članove sa osnovom 3 na desnu stranu:

4^{\log_{16} x} + \frac{1}{2} \cdot 4^{\log_{16} x} = 3^{\log_{16} x + \frac{1}{2}} + 3^{\log_{16} x - \frac{1}{2}}

Izvlačimo zajedničke faktore na obe strane jednačine:

4^{\log_{16} x} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 3^{\log_{16} x - \frac{1}{2}} \left(3^1 + 1\right)

Sređujemo izraze u zagradama:

\frac{3}{2} \cdot 4^{\log_{16} x} = 4 \cdot 3^{\log_{16} x - \frac{1}{2}}

Zapisujemo $3^{\log_{16} x - \frac{1}{2}}$ kao $\frac{3^{\log_{16} x}}{\sqrt{3}} :$

\frac{3}{2} \cdot 4^{\log_{16} x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 3^{\log_{16} x}

Delimo jednačinu sa $3^{\log_{16} x}$ i sa $\frac{3}{2} :$

\frac{4^{\log_{16} x}}{3^{\log_{16} x}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}

Sređujemo desnu stranu jednačine:

\left(\frac{4}{3}\right)^{\log_{16} x} = \frac{8}{3\sqrt{3}}

Primetimo da se obe strane mogu zapisati preko osnove $\frac{2}{\sqrt{3}} :$

\left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^{\log_{16} x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3

Množimo izložioce na levoj strani:

\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2\log_{16} x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce:

2\log_{16} x = 3

Delimo jednačinu sa 2:

\log_{16} x = \frac{3}{2}

Pretvaramo logaritamsku jednačinu u eksponencijalnu:

x = 16^{\frac{3}{2}}

Računamo vrednost za $x :$

x = (4^2)^{\frac{3}{2}} = 4^3 = 64

Proveravamo da li rešenje pripada domenu ( $x > 0$ ):

64 > 0

Rešenje je prihvatljivo.

x = 64

2300.Logaritamske jednačine