2318. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

x > 0

Primenjujemo pravilo za logaritam proizvoda: $\lg(ab) = \lg a + \lg b .$

\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x

Zamenjujemo dobijeni izraz u eksponent broja 24.

24^{\lg(10x)} = 24^{1 + \lg x} = 24^1 \cdot 24^{\lg x} = 24 \cdot 24^{\lg x}

Rastavljamo osnovu 24 na činioce kako bismo je uskladili sa ostalim osnovama u jednačini: $24 = 8 \cdot 3 .$

24^{\lg x} = (8 \cdot 3)^{\lg x} = 8^{\lg x} \cdot 3^{\lg x}

Zamenjujemo sve dobijene izraze u početnu jednačinu.

8^{\lg x} + 3^{-\lg x} \cdot 24 \cdot 8^{\lg x} \cdot 3^{\lg x} = 25

Množimo stepene sa istom osnovom sabiranjem njihovih izložilaca: $a^m \cdot a^n = a^{m+n} .$

3^{-\lg x} \cdot 3^{\lg x} = 3^{-\lg x + \lg x} = 3^0 = 1

Jednačina se sada pojednostavljuje.

8^{\lg x} + 24 \cdot 8^{\lg x} = 25

Izvlačimo zajednički činilac $8^{\lg x} .$

8^{\lg x}(1 + 24) = 25

Delimo obe strane jednačine sa 25.

25 \cdot 8^{\lg x} = 25 \implies 8^{\lg x} = 1

Bilo koji broj (različit od nule) na nulti stepen daje 1, pa je eksponent jednak nuli.

\lg x = 0

Rešavamo logaritamsku jednačinu po definiciji logaritma.

x = 10^0 = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu $x > 0 .$

1 > 0

Rešenje jednačine je:

x = 1

2318.Logaritamske jednačine