2320. Logaritamske jednačine

Zbog logaritma, argument mora biti strogo pozitivan, pa prvo određujemo domen jednačine:

x > 0

Primenom osobina stepenovanja i logaritama, uprostimo izraz $3^{1+\log_3 x} :$

3^{1+\log_3 x} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 x} = 3x

Na sličan način uprostimo i izraz $9^{1+\log_3 x} :$

9^{1+\log_3 x} = 9^1 \cdot 9^{\log_3 x} = 9 \cdot (3^2)^{\log_3 x} = 9 \cdot (3^{\log_3 x})^2 = 9x^2

Zamenimo dobijene izraze u početnu jednačinu:

9x^2 + 3x = 210

Podelimo celu jednačinu sa 3 i prebacimo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

3x^2 + x - 70 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-70)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 840}}{6} = \frac{-1 \pm 29}{6}

Računamo potencijalna rešenja za $x :$

x_1 = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}, \quad x_2 = \frac{-30}{6} = -5

Proverimo rešenja u odnosu na domen $x > 0 .$ Rešenje $x_2 = -5$ odbacujemo, pa je konačno rešenje:

x = \frac{14}{3}

2320.Logaritamske jednačine