2321.

Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni, a izraz pod korenom nenegativan:

Rešavanjem ovog sistema nejednačina dobijamo uslove za domen:

Dakle, domen jednačine je $x \in (0, +\infty) .$ Proveravamo da li je $x = 1$ rešenje jednačine:

Pošto je $\log_2 1 = 0$ i $\log_3 1 = 0 ,$ dobijamo:

Zaključujemo da je $x = 1$ jedno rešenje jednačine. Sada analiziramo slučaj kada je $x > 1 .$ Upoređujemo izraze $\sqrt{2x+1}-1$ i $x :$

Kvadriranjem obe strane (što je dozvoljeno jer su obe pozitivne za $x > 1$) dobijamo:

Ova nejednakost je tačna za svako $x > 0 ,$ pa važi $\sqrt{2x+1}-1 < x .$ Pošto je osnova logaritma $3 > 1 ,$ logaritmovanjem dobijamo:

Za $x > 1$ važi $\log_3 x > 0 .$ Množenjem prethodne nejednakosti sa pozitivnim brojem $\log_3 x$ znak nejednakosti se ne menja:

Sada upoređujemo $\log_3^2 x$ sa levom stranom jednačine $2\log_2^2 x .$ Koristimo formulu za promenu osnove logaritma $\log_3 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 3} :$

Pošto je $\log_2 3 > 1 ,$ sledi da je $\frac{1}{\log_2^2 3} < 1 < 2 .$ Zato važi:

Spajanjem ovih nejednakosti zaključujemo da za svako $x > 1$ važi:

Desna strana jednačine je strogo manja od leve za $x > 1 ,$ pa u tom intervalu nema rešenja. Sada analiziramo interval $0 < x < 1 .$ U ovom intervalu je $\log_3 x < 0 .$ Množenjem nejednakosti $\log_3(\sqrt{2x+1}-1) < \log_3 x$ negativnim brojem $\log_3 x ,$ znak nejednakosti se menja:

Zbog promene znaka nejednakosti, ne možemo doneti isti zaključak kao za $x > 1 .$ Definišimo funkciju razlike leve i desne strane:

Proverom vrednosti funkcije u tačkama $x = 0{,}5$ i $x = 0{,}95$ dobijamo:

Na osnovu Bolcano-Košijeve teoreme, pošto je funkcija neprekidna i menja znak na intervalu $(0{,}5; 0{,}95) ,$ postoji još jedno rešenje jednačine u tom intervalu (približno $x \approx 0{,}93$). *Napomena: U mnogim školskim zbirkama se previdi promena znaka pri množenju negativnim brojem, pa se pogrešno zaključi da je $x = 1$ jedino rešenje. Matematički korektna analiza pokazuje postojanje drugog, iracionalnog rešenja.*