2319. Logaritamske jednačine

Primećujemo da se osnova $49$ može zapisati kao $7^2 ,$ pa jednačinu možemo prepisati u obliku:

(7^2)^x - 6 \cdot 7^x + 5 = 0

Koristeći osobinu stepenovanja $(a^m)^n = a^{m \cdot n} = (a^n)^m ,$ jednačina postaje:

(7^x)^2 - 6 \cdot 7^x + 5 = 0

Uvodimo smenu $t = 7^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

t^2 - 6t + 5 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednosti pod korenom.

t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Nalazimo rešenja za $t .$

t_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1

Oba rešenja su pozitivna i zadovoljavaju uslov $t > 0 .$ Vraćamo se na smenu $7^x = t .$ Za prvo rešenje dobijamo:

7^x = 5 \implies x = \log_7 5

Za drugo rešenje dobijamo:

7^x = 1 \implies 7^x = 7^0 \implies x = 0

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{0, \log_7 5\}

2319.Logaritamske jednačine