2296.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

2⋅3x+1−5⋅9x−2=812 \cdot 3^{x+1} - 5 \cdot 9^{x-2} = 81
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo broj 9 9 kao stepen osnove 3 3 kako bismo sveli sve na istu osnovu.

2⋅3x+1−5⋅(32)x−2=812 \cdot 3^{x+1} - 5 \cdot (3^2)^{x-2} = 81

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n. (a^m)^n = a^{m \cdot n} .

2⋅3x+1−5⋅32x−4=812 \cdot 3^{x+1} - 5 \cdot 3^{2x-4} = 81

Rastavljamo stepene koristeći pravila am+n=am⋅an a^{m+n} = a^m \cdot a^n i am−n=aman. a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} .

2⋅3x⋅31−5⋅32x34=812 \cdot 3^x \cdot 3^1 - 5 \cdot \frac{3^{2x}}{3^4} = 81

Sređujemo konstante u jednačini. Znamo da je 34=81 3^4 = 81 i 32x=(3x)2. 3^{2x} = (3^x)^2 .

6⋅3x−581⋅(3x)2=816 \cdot 3^x - \frac{5}{81} \cdot (3^x)^2 = 81

Uvodimo smenu t=3x, t = 3^x , pri čemu mora važiti t>0 t > 0 jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna.

6t−581t2=816t - \frac{5}{81}t^2 = 81

Množimo celu jednačinu sa 81 81 kako bismo se oslobodili razlomka i prebacujemo sve članove na desnu stranu.

5t2−486t+6561=05t^2 - 486t + 6561 = 0

Da bismo faktorisali kvadratnu jednačinu, tražimo dva broja čiji je zbir 486, 486 , a proizvod 5⋅6561=5⋅81⋅81=405⋅81. 5 \cdot 6561 = 5 \cdot 81 \cdot 81 = 405 \cdot 81 . Primećujemo da su to brojevi 405 405 i 81. 81 .

5t2−405t−81t+6561=05t^2 - 405t - 81t + 6561 = 0

Grupišemo članove i izvlačimo zajedničke činioce.

5t(t−81)−81(t−81)=05t(t - 81) - 81(t - 81) = 0

Izvlačimo zajedničku zagradu (t−81). (t - 81) .

(5t−81)(t−81)=0(5t - 81)(t - 81) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Nalazimo rešenja za t. t .

t1=81,t2=815t_1 = 81, \quad t_2 = \frac{81}{5}

Oba rešenja su veća od nule, pa su validna. Vraćamo smenu t=3x t = 3^x za prvo rešenje.

3x=813^x = 81

Zapisujemo 81 81 kao stepen osnove 3 3 i izjednačavamo izložioce.

3x=34  ⟹  x1=43^x = 3^4 \implies x_1 = 4

Vraćamo smenu za drugo rešenje.

3x=8153^x = \frac{81}{5}

Rešavamo po x x primenom logaritma sa osnovom 3. 3 .

x2=log⁡3(815)=log⁡3(81)−log⁡3(5)=4−log⁡3(5)x_2 = \log_3\left(\frac{81}{5}\right) = \log_3(81) - \log_3(5) = 4 - \log_3(5)

Konačan skup rešenja polazne jednačine.

x∈{4−log⁡3(5),4}x \in \left\{ 4 - \log_3(5), 4 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti