2301. Logaritamske jednačine

Definisanost jednačine zahteva da osnova stepena bude pozitivna, a argument logaritma veći od nule. Pošto je osnova $x ,$ mora važiti $x > 0 .$

x > 0

Primenjujemo osobinu logaritma $\lg x^2 = 2\lg x$ (za $x > 0$ ) kako bismo pojednostavili izložilac.

1 - \frac{1}{3}\lg x^2 = 1 - \frac{2}{3}\lg x

Zapisujemo desnu stranu jednačine kao stepen osnove 10.

\frac{1}{\sqrt[3]{100}} = 100^{-\frac{1}{3}} = (10^2)^{-\frac{1}{3}} = 10^{-\frac{2}{3}}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu.

x^{1 - \frac{2}{3}\lg x} = 10^{-\frac{2}{3}}

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10.

\lg \left( x^{1 - \frac{2}{3}\lg x} \right) = \lg \left( 10^{-\frac{2}{3}} \right)

Primenjujemo osobinu logaritma $\lg a^b = b \lg a .$

\left( 1 - \frac{2}{3}\lg x \right) \lg x = -\frac{2}{3}

Uvodimo smenu $t = \lg x .$

\left( 1 - \frac{2}{3}t \right) t = -\frac{2}{3}

Množimo jednačinu sa 3 i sređujemo je u oblik kvadratne jednačine.

3t - 2t^2 = -2 \implies 2t^2 - 3t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 2, \quad t_2 = -\frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 2 .$

\lg x = 2 \implies x_1 = 10^2 = 100

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -\frac{1}{2} .$

\lg x = -\frac{1}{2} \implies x_2 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x > 0 ,$ pa su konačna rešenja:

x \in \left\{ \frac{\sqrt{10}}{10}, 100 \right\}

2301.Logaritamske jednačine