2302. Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Zbog razlomka u izložiocu, imenilac ne sme biti jednak nuli.

x \neq 0

Zapisujemo broj $64$ kao stepen osnove $2$ ( $64 = 2^6$ ) i primenjujemo pravila za stepenovanje.

64^{\frac{1}{x}} = (2^6)^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{6}{x}}

Rastavljamo drugi sabirak koristeći pravilo $a^{m+n} = a^m \cdot a^n .$

2^{3+\frac{3}{x}} = 2^3 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu.

2^{\frac{6}{x}} - 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}} + 12 = 0

Primećujemo da je $2^{\frac{6}{x}} = (2^{\frac{3}{x}})^2 .$ Uvodimo smenu $t = 2^{\frac{3}{x}} ,$ pri čemu mora važiti $t > 0$ jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna.

t^2 - 8t + 12 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 6, \quad t_2 = 2

Oba rešenja su pozitivna, pa vraćamo smenu za rešenje $t = 2 .$

2^{\frac{3}{x}} = 2

Izjednačavamo izložioce.

\frac{3}{x} = 1 \implies x = 3

Vraćamo smenu za rešenje $t = 6 .$

2^{\frac{3}{x}} = 6

Logaritmujemo obe strane za osnovu $2$ kako bismo izrazili $x .$

\frac{3}{x} = \log_2 6 \implies x = \frac{3}{\log_2 6}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq 0 ,$ pa predstavljaju konačna rešenja jednačine.

x \in \left\{ 3, \frac{3}{\log_2 6} \right\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2302.
Logaritamske jednačine

2302.Logaritamske jednačine

2302.
Logaritamske jednačine