2268. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od jedan, a numerus mora biti pozitivan. Kako je numerus $\sqrt{5} > 0 ,$ uslovi su:

x > 0, \quad x \neq 1

Uvodimo smenu kako bismo jednačinu sveli na kvadratnu:

t = \log_x \sqrt{5}

Zamenom smene u polaznu jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

2t^2 - 3t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 :$

\log_x \sqrt{5} = 1 \implies x^1 = \sqrt{5} \implies x_1 = \sqrt{5}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{1}{2} :$

\log_x \sqrt{5} = \frac{1}{2} \implies x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \implies \sqrt{x} = \sqrt{5} \implies x_2 = 5

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x > 0, x \neq 1 .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslove.

x_1 = \sqrt{5}, \quad x_2 = 5

529.a