2268.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku jednačinu: 2(log⁡x5)2−3log⁡x5+1=0. 2(\log_x \sqrt{5})^2 - 3 \log_x \sqrt{5} + 1 = 0 .

2(log⁡x5)2−3log⁡x5+1=02(\log_x \sqrt{5})^2 - 3 \log_x \sqrt{5} + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od jedan, a numerus mora biti pozitivan. Kako je numerus 5>0, \sqrt{5} > 0 , uslovi su:

x>0,x≠1x > 0, \quad x \neq 1

Uvodimo smenu kako bismo jednačinu sveli na kvadratnu:

t=log⁡x5t = \log_x \sqrt{5}

Zamenom smene u polaznu jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po t: t :

2t2−3t+1=02t^2 - 3t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene:

t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅2⋅12⋅2=3±9−84=3±14t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=3+14=1,t2=3−14=24=12t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=1: t_1 = 1 :

log⁡x5=1  ⟹  x1=5  ⟹  x1=5\log_x \sqrt{5} = 1 \implies x^1 = \sqrt{5} \implies x_1 = \sqrt{5}

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=12: t_2 = \frac{1}{2} :

log⁡x5=12  ⟹  x12=5  ⟹  x=5  ⟹  x2=5\log_x \sqrt{5} = \frac{1}{2} \implies x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \implies \sqrt{x} = \sqrt{5} \implies x_2 = 5

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu x>0,x≠1. x > 0, x \neq 1 . Oba rešenja zadovoljavaju uslove.

x1=5,x2=5x_1 = \sqrt{5}, \quad x_2 = 5

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti