2269. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Svi argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x > 0 \\ \log_4(\log_3 x) > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina za domen:

\begin{cases} x > 0 \\ x > 3^0 \implies x > 1 \\ \log_3 x > 4^0 \implies \log_3 x > 1 \implies x > 3^1 \implies x > 3 \end{cases}

Dakle, domen jednačine je $x \in (3, +\infty) .$ Sada rešavamo jednačinu koristeći definiciju logaritma $\log_a b = c \iff b = a^c .$ Primenjujemo ovo na spoljašnji logaritam sa osnovom 2:

\log_4(\log_3 x) = 2^{-1}

Znamo da je $2^{-1} = \frac{1}{2} ,$ pa jednačina postaje:

\log_4(\log_3 x) = \frac{1}{2}

Ponovo primenjujemo definiciju logaritma, sada za osnovu 4:

\log_3 x = 4^{\frac{1}{2}}

Računamo vrednost stepena $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 :$

\log_3 x = 2

Na kraju, primenjujemo definiciju logaritma za osnovu 3 kako bismo izolovali $x :$

x = 3^2

Računamo konačnu vrednost:

x = 9

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $(3, +\infty) .$ Pošto je $9 > 3 ,$ rešenje je validno.

x = 9

528.g