2288.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku jednačinu: log⁡(x+1+1)log⁡x−403=3. \frac{\log(\sqrt{x + 1} + 1)}{\log \sqrt[3]{x - 40}} = 3 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Potrebno je da su potkorene veličine nenegativne, argumenti logaritama pozitivni i da imenilac razlomka nije nula.

{x+1≥0x−40>0x+1+1>0x−403≠1\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 40 > 0 \\ \sqrt{x + 1} + 1 > 0 \\ \sqrt[3]{x - 40} \neq 1 \end{cases}

Iz uslova x−40>0 x - 40 > 0 sledi x>40. x > 40 . Uslov x−403≠1 \sqrt[3]{x - 40} \neq 1 daje x−40≠1, x - 40 \neq 1 , odnosno x≠41. x \neq 41 . Dakle, domen je:

D:x∈(40,41)∪(41,+∞)D: x \in (40, 41) \cup (41, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma log⁡x−403=log⁡(x−40)1/3=13log⁡(x−40) \log \sqrt[3]{x - 40} = \log (x - 40)^{1/3} = \frac{1}{3} \log (x - 40) i množimo jednačinu imeniocem:

log⁡(x+1+1)=3⋅13log⁡(x−40)\log(\sqrt{x + 1} + 1) = 3 \cdot \frac{1}{3} \log(x - 40)

Jednačina se svodi na jednakost argumenata logaritama:

x+1+1=x−40\sqrt{x + 1} + 1 = x - 40

Izolujemo koren na levoj strani:

x+1=x−41\sqrt{x + 1} = x - 41

Kvadriramo obe strane uz dodatni uslov x−41≥0, x - 41 \ge 0 , odnosno x≥41: x \ge 41 :

x+1=(x−41)2x + 1 = (x - 41)^2

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo kvadratnu jednačinu:

x+1=x2−82x+1681x2−83x+1680=0x + 1 = x^2 - 82x + 1681 \\ x^2 - 83x + 1680 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x1,2=83±832−4⋅16802=83±6889−67202=83±1692x_{1,2} = \frac{83 \pm \sqrt{83^2 - 4 \cdot 1680}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{6889 - 6720}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{169}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=83+132=48,x2=83−132=35x_1 = \frac{83 + 13}{2} = 48, \quad x_2 = \frac{83 - 13}{2} = 35

Proveravamo rešenja u odnosu na domen x∈(40,41)∪(41,+∞) x \in (40, 41) \cup (41, +\infty) i uslov kvadriranja x≥41. x \ge 41 . Rešenje x=35 x = 35 otpada, dok x=48 x = 48 zadovoljava sve uslove.

x=48x = 48

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti