2288. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Potrebno je da su potkorene veličine nenegativne, argumenti logaritama pozitivni i da imenilac razlomka nije nula.

\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 40 > 0 \\ \sqrt{x + 1} + 1 > 0 \\ \sqrt[3]{x - 40} \neq 1 \end{cases}

Iz uslova $x - 40 > 0$ sledi $x > 40 .$ Uslov $\sqrt[3]{x - 40} \neq 1$ daje $x - 40 \neq 1 ,$ odnosno $x \neq 41 .$ Dakle, domen je:

D: x \in (40, 41) \cup (41, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma $\log \sqrt[3]{x - 40} = \log (x - 40)^{1/3} = \frac{1}{3} \log (x - 40)$ i množimo jednačinu imeniocem:

\log(\sqrt{x + 1} + 1) = 3 \cdot \frac{1}{3} \log(x - 40)

Jednačina se svodi na jednakost argumenata logaritama:

\sqrt{x + 1} + 1 = x - 40

Izolujemo koren na levoj strani:

\sqrt{x + 1} = x - 41

Kvadriramo obe strane uz dodatni uslov $x - 41 \ge 0 ,$ odnosno $x \ge 41 :$

x + 1 = (x - 41)^2

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo kvadratnu jednačinu:

x + 1 = x^2 - 82x + 1681 \\ x^2 - 83x + 1680 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{83 \pm \sqrt{83^2 - 4 \cdot 1680}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{6889 - 6720}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{169}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{83 + 13}{2} = 48, \quad x_2 = \frac{83 - 13}{2} = 35

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $x \in (40, 41) \cup (41, +\infty)$ i uslov kvadriranja $x \ge 41 .$ Rešenje $x = 35$ otpada, dok $x = 48$ zadovoljava sve uslove.

x = 48

531.l