2289. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Sve logaritme svodimo na istu osnovu $7 .$ Koristimo pravilo za promenu osnove $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ i $\log_{1/a} b = -\log_a b .$

\log_{49} x = \log_{7^2} x = \frac{1}{2} \log_7 x \\ \log_{1/7} \sqrt{3} = \log_{7^{-1}} \sqrt{3} = -\log_7 \sqrt{3}

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu.

\log_7 2 + \frac{1}{2} \log_7 x = -\log_7 \sqrt{3}

Koristimo pravilo $n \log_a b = \log_a b^n$ da bismo sredili koeficijente ispred logaritama.

\log_7 2 + \log_7 x^{1/2} = -\log_7 3^{1/2}

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ i prebacujemo minus na desnoj strani u eksponent.

\log_7 (2 \cdot \sqrt{x}) = \log_7 (\sqrt{3})^{-1}

Pošto su osnove logaritama iste, izjednačavamo njihove argumente.

2\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo eliminisali korene.

(2\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ 4x = \frac{1}{3}

Računamo vrednost nepoznate $x .$

x = \frac{1}{3 \cdot 4} \\ x = \frac{1}{12}

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x > 0 .$ Pošto je $1/12 > 0 ,$ rešenje je validno.

x = \frac{1}{12}

532.b