2262.

Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti pozitivan, a osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1.

Iz uslova dobijamo da $x > -2 ,$ $x > 0$ i $x \neq 1 .$ Presek ovih uslova daje domen:

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ i osobinu $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$ Primetimo da je $4 = 2^2 .$

Sređujemo izraz izvlačenjem konstante ispred logaritma:

Množimo jednačinu sa $2 \log_2 x$ kako bismo eliminisali razlomke:

Primenjujemo osobinu logaritma $n \log_a b = \log_a b^n :$

Pošto su osnove logaritama iste, izjednačavamo argumente:

Prebacujemo sve članove na jednu stranu da dobijemo kvadratnu jednačinu:

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $D: x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) .$ Rešenje $x = -1$ ne pripada domenu, dok rešenje $x = 2$ pripada.