Pojam i svojstva logaritma

Eksponencijalna funkcija $a^x = b$ daje vrednost $b$ kada se zna osnova $a$ i eksponent $x$. Logaritam rešava obrnut problem: data je osnova $a$ i vrednost $b$, a traži se eksponent $x$. Na primer, $2^x = 8$ ima rešenje $x = 3$, i upravo to rešenje se zapisuje kao $\log_2 8 = 3$. Logaritam i stepenovanje su inverzne operacije, kao što su deljenje i množenje.

---

Sadržaj

1. Definicija logaritma
2. Uslovi definisanosti
3. Osnovna svojstva
4. Primeri

---

1. Definicija logaritma

$\log_a b = x \iff a^x = b$

Čitamo: "logaritam broja $b$ za osnovu $a$ je $x$" ako i samo ako je $a^x = b$.

Osnova $a$ se naziva osnova logaritma, a broj $b$ se naziva argument (ili numerus) logaritma.

---

2. Uslovi definisanosti

Da bi $\log_a b$ bio definisan, moraju biti ispunjeni uslovi:

$a > 0, \quad a \neq 1, \qquad b > 0$

---

3. Osnovna svojstva

Sva svojstva logaritma direktno proističu iz pravila za stepenovanje. Pravila iz tabele koriste se za sređivanje i transformaciju logaritamskih izraza: spajanje više logaritama u jedan, razvijanje jednog u zbir i razliku, i promena osnove.

Svojstvo	Formula	Veza sa stepenima
Logaritam jedinice	$\log_a 1 = 0$	jer $a^0 = 1$
Logaritam osnove	$\log_a a = 1$	jer $a^1 = a$
Logaritam stepena	$\log_a x^s = s \cdot \log_a x$	jer $(a^t)^s = a^{ts}$
Logaritam proizvoda	$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$	jer $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Logaritam količnika	$\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$	jer $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Osnova na stepen $s$	$\log_{a^s} x = \dfrac{1}{s} \log_a x$	kombinacija pravila
Osnovni identitet	$a^{\log_a b} = b$	direktno iz definicije
Promena osnove	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	vidi izvođenje ispod
Recipročnost osnova	$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$	poseban slučaj promene osnove
Lanac logaritama	$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$	vidi izvođenje ispod

Izvođenje formule za promenu osnove

Polazimo od $\log_a b = x$, što po definiciji znači $a^x = b$. Primenimo logaritam sa osnovom $c$ na obe strane:

$\log_c a^x = \log_c b$

$x \cdot \log_c a = \log_c b$

$x = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Dakle: $\quad\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

Izvođenje formule za recipročnost osnova

Ovo je poseban slučaj formule za promenu osnove: uzmemo $c = b$.

$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}$

Izvođenje formule za lanac logaritama

Primenimo promenu osnove na oba logaritma u proizvodu, koristeći istu osnovu $c$:

$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log_c b}{\log_c a} \cdot \frac{\log_c c}{\log_c b} = \frac{\log_c c}{\log_c a} = \log_a c$

---

4. Primeri

Izračunavanje vrednosti logaritma

Cilj je svaki logaritam dovesti do oblika $\log_a a^s = s$, koristeći pravila iz tabele. Standardni koraci su: prepoznati osnovu, zapisati argument kao stepen te osnove, pa primeniti $\log_a x^s = s \cdot \log_a x$ i $\log_a a = 1$.

Transformacija izraza

Izražavanje logaritma preko poznatih vrednosti

Strategija je uvek ista: rastaviti nepoznat broj na proste činioce koji se mogu dobiti od poznatih vrednosti, primeniti promenu osnove, pa primeniti svojstva logaritma.