Eksponencijalne jednačine i nejednačine

U linearnim i kvadratnim jednačinama nepoznata se nalazi u bazi, na primer x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0. Eksponencijalne jednačine su drugačije: nepoznata je u eksponentu, na primer 2x=82^x = 8. To znači da standardno "premeštanje na drugu stranu" ne funkcioniše.

Na primer, iz 2x+2x+1=242^x + 2^{x+1} = 24 ne može se prosto "preneti" 2x+12^{x+1} na drugu stranu i rešiti kao linearnu jednačinu. Umesto toga, koristi se ključno svojstvo: ako je af(x)=ag(x)a^{f(x)} = a^{g(x)} i a>0a > 0, a≠1a \neq 1, onda mora biti f(x)=g(x)f(x) = g(x). Cilj svakog postupka je da se obe strane dovedu na istu osnovu.

Sadržaj

  1. Svođenje na istu osnovu
  2. Smena t=axt = a^x
  3. Homogene eksponencijalne jednačine
  4. Specijalni slučajevi
  5. Eksponencijalne nejednačine

1. Svođenje na istu osnovu

Osnovna ideja: ako je af(x)=ag(x)a^{f(x)} = a^{g(x)} i a>0a > 0, a≠1a \neq 1, onda važi f(x)=g(x)f(x) = g(x).

Kad je cela jednačina razlomak sa stepenima, primeniti pravila aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} i am+n=am⋅ana^{m+n} = a^m \cdot a^n da se sve spoji u jedan stepen, pa tek onda izjednačiti eksponente.

1.1 Direktno svođenje

Kad se sve osnove mogu izraziti kao stepeni istog broja, jednačina se svodi na algebarsku jednačinu eksponenata.

Primer: 22x−1⋅4x+18x−1=64\dfrac{2^{2x-1} \cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64

Korak 1. Sve osnove su stepeni broja 2:

4=22,8=23,64=264 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 64 = 2^6

Korak 2. Zameniti u jednačinu:

22x−1⋅(22)x+1(23)x−1=26\frac{2^{2x-1} \cdot (2^2)^{x+1}}{(2^3)^{x-1}} = 2^6

Korak 3. Primeniti pravilo (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}:

22x−1⋅22x+223x−3=26\frac{2^{2x-1} \cdot 2^{2x+2}}{2^{3x-3}} = 2^6

Korak 4. Sabrati eksponente u brojiocu i oduzeti imenilac koristeći am⋅anak=am+n−k\frac{a^m \cdot a^n}{a^k} = a^{m+n-k}:

2(2x−1)+(2x+2)−(3x−3)=262^{(2x-1)+(2x+2)-(3x-3)} = 2^6

2x+4=262^{x+4} = 2^6

Korak 5. Osnove su jednake, izjednačiti eksponente:

x+4=6  ⟹  x=2x + 4 = 6 \implies \boxed{x = 2}

1.2 Decimalni brojevi i koreni kao stepeni

Decimalni brojevi i koreni se moraju pretvoriti u stepene pre nego što se nastavi sa rešavanjem.

Najčešće se pojavljuju:

0,5=2−10{,}5 = 2^{-1}, 0,25=2−2\quad 0{,}25 = 2^{-2}, 0,125=2−3\quad 0{,}125 = 2^{-3}, 2=21/2\quad \sqrt{2} = 2^{1/2}, a3=a1/3\quad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}, 82=2321/2=25/2\quad \dfrac{8}{\sqrt{2}} = \dfrac{2^3}{2^{1/2}} = 2^{5/2}

Primer: 0,5x2−20x+61,5=820{,}5^{x^2 - 20x + 61{,}5} = \dfrac{8}{\sqrt{2}}

Korak 1. Levu osnovu zapisati kao stepen broja 2:

0,5=12=2−10{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}

Korak 2. Desnu stranu zapisati kao stepen broja 2:

82=2321/2=23−12=252\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2^3}{2^{1/2}} = 2^{3 - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}

Korak 3. Zameniti u jednačinu i primeniti (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}:

(2−1)x2−20x+61,5=252(2^{-1})^{x^2 - 20x + 61{,}5} = 2^{\frac{5}{2}}

2−(x2−20x+61,5)=22,52^{-(x^2 - 20x + 61{,}5)} = 2^{2{,}5}

Korak 4. Izjednačiti eksponente i srediti:

−(x2−20x+61,5)=2,5-(x^2 - 20x + 61{,}5) = 2{,}5

−x2+20x−64=0-x^2 + 20x - 64 = 0

x2−20x+64=0x^2 - 20x + 64 = 0

Korak 5. Rešiti kvadratnu jednačinu:

x1,2=20±400−2562=20±122x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2}

x1=16,x2=4\boxed{x_1 = 16, \quad x_2 = 4}

1.3 Recipročne osnove

Ako su osnove recipročne (ab\frac{a}{b} i ba\frac{b}{a}), koristiti (ab)−1=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} da se sve svede na jednu osnovu.

Primer: (37)3x−7=(73)7x−3\left(\dfrac{3}{7}\right)^{3x-7} = \left(\dfrac{7}{3}\right)^{7x-3}

Korak 1. Desnu osnovu izraziti preko leve:

73=(37)−1\frac{7}{3} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-1}

Korak 2. Zameniti i primeniti (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}:

(37)3x−7=(37)−(7x−3)=(37)−7x+3\left(\frac{3}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-(7x-3)} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-7x+3}

Korak 3. Izjednačiti eksponente:

3x−7=−7x+33x - 7 = -7x + 3

10x=10  ⟹  x=110x = 10 \implies \boxed{x = 1}

1.4 Izvlačenje zajedničkog faktora

Kad se isti stepen pojavljuje u više članova, izvući ga kao zajednički faktor i rešiti po stepenu.

Primer: 2⋅3x+1−4⋅3x−2=4502 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 450

Korak 1. Rastaviti svaki stepen koristeći am+n=am⋅ana^{m+n} = a^m \cdot a^n:

2⋅3x⋅3−4⋅3x9=4502 \cdot 3^x \cdot 3 - 4 \cdot \frac{3^x}{9} = 450

6⋅3x−49⋅3x=4506 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x = 450

Korak 2. Izvući 3x3^x kao zajednički faktor:

3x(6−49)=4503^x \left(6 - \frac{4}{9}\right) = 450

3x⋅509=4503^x \cdot \frac{50}{9} = 450

Korak 3. Izdvojiti 3x3^x:

3x=450⋅950=81=343^x = 450 \cdot \frac{9}{50} = 81 = 3^4

Korak 4. Izjednačiti eksponente:

x=4\boxed{x = 4}

2. Smena

Kad se isti stepen pojavljuje više puta u jednačini, uvesti smenu t=axt = a^x da se jednačina svede na kvadratnu.

2.1 Osnovna smena

Primer: 4x−10⋅2x−1=244^x - 10 \cdot 2^{x-1} = 24

Korak 1. Sve izraziti preko 2x2^x:

22x−10⋅2x2=242^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} = 24

(2x)2−5⋅2x=24(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x = 24

Korak 2. Uvesti smenu t=2xt = 2^x, uz uslov t>0t > 0:

t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0

Korak 3. Rešiti kvadratnu jednačinu:

t1,2=5±25+962=5±112t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}

t1=8,t2=−3t_1 = 8, \quad t_2 = -3

Korak 4. Odbaciti negativno rešenje jer t=2x>0t = 2^x > 0, pa vratiti smenu:

2x=8=23  ⟹  x=32^x = 8 = 2^3 \implies \boxed{x = 3}

Pri uvođenju smene t=axt = a^x (gde je a>0a > 0 i a≠1a \neq 1), važi uslov:

t>0t>0

Razlog je što eksponencijalna funkcija uvek daje pozitivne vrednosti, bez obzira na vrednost promenljive xx.

2.2 Smena sa negativnim eksponentom (razlomak)

Kad jednačina sadrži i axa^x i a−xa^{-x} (ili 1ax\frac{1}{a^x}), smena t=axt = a^x daje razlomak 1t\frac{1}{t}. Treba pomnožiti jednačinu sa tt da se razlomak eliminiše.

Primer: 22+x−22−x=152^{2+x} - 2^{2-x} = 15

Korak 1. Rastaviti stepene koristeći am±n=am⋅a±na^{m \pm n} = a^m \cdot a^{\pm n}:

4⋅2x−4⋅2−x=154 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^{-x} = 15

4⋅2x−42x=154 \cdot 2^x - \frac{4}{2^x} = 15

Korak 2. Uvesti smenu t=2xt = 2^x, t>0t > 0:

4t−4t=154t - \frac{4}{t} = 15

Korak 3. Pomnožiti sa tt da se eliminiše razlomak:

4t2−15t−4=04t^2 - 15t - 4 = 0

Korak 4. Rešiti kvadratnu jednačinu:

t1,2=15±225+648=15±178t_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \frac{15 \pm 17}{8}

t1=4,t2=−14t_1 = 4, \quad t_2 = -\frac{1}{4}

Pošto t>0t > 0, odbaciti t2t_2. Vratiti smenu:

2x=4=22  ⟹  x=22^x = 4 = 2^2 \implies \boxed{x = 2}

2.3 Složeni eksponent pod korenom

Kad se pod korenom pojavljuje složeni izraz, i taj isti izraz se nalazi u eksponentu, smena se uvodi za ceo stepen aslozˇeni deoa^{\text{složeni deo}}.

Primer: 4x−2+16=10⋅2x−24^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}

Korak 1. Odrediti domen:

x−2≥0  ⟹  x≥2x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2

Korak 2. Zapisati 4=224 = 2^2 i preurediti:

(2x−2)2−10⋅2x−2+16=0(2^{\sqrt{x-2}})^2 - 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}} + 16 = 0

Korak 3. Uvesti smenu t=2x−2t = 2^{\sqrt{x-2}}, t>0t > 0:

t2−10t+16=0t^2 - 10t + 16 = 0

t1,2=10±62  ⟹  t1=8,t2=2t_{1,2} = \frac{10 \pm 6}{2} \implies t_1 = 8, \quad t_2 = 2

Korak 4. Vratiti smenu za oba rešenja.

Za t1=8t_1 = 8:

2x−2=23  ⟹  x−2=3  ⟹  x=112^{\sqrt{x-2}} = 2^3 \implies \sqrt{x-2} = 3 \implies x = 11

Za t2=2t_2 = 2:

2x−2=21  ⟹  x−2=1  ⟹  x=32^{\sqrt{x-2}} = 2^1 \implies \sqrt{x-2} = 1 \implies x = 3

Oba zadovoljavaju x≥2x \geq 2, pa je:

x∈{3,11}\boxed{x \in \{3, 11\}}

Kad se vraća smena oblika 2…=2k2^{\sqrt{\ldots}} = 2^k, eksponent kk mora biti nenegativan jer je …≥0\sqrt{\ldots} \geq 0 uvek. Ako je kk negativan, to rešenje ne postoji u realnim brojevima.

3. Homogene eksponencijalne jednačine

Jednačina oblika A⋅a2x+B⋅ax⋅bx+C⋅b2x=0A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot b^{2x} = 0 zove se homogena eksponencijalna jednačina.

Opšti postupak rešavanja:

Korak 1. Prepoznati da li se sve osnove mogu izraziti kao stepeni dva broja aa i bb. Prepisati jednačinu u obliku A⋅(ax)2+B⋅ax⋅bx+C⋅(bx)2=0A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot (b^x)^2 = 0 i prebaciti sve na jednu stranu.

Korak 2. Podeliti celu jednačinu sa (bx)2(b^x)^2. Pošto je (bx)2>0(b^x)^2 > 0 za svako xx, znak jednačine se ne menja i deljenje je uvek dozvoljeno. Nastaje kvadratna jednačina po (ab)x\left(\frac{a}{b}\right)^x.

Korak 3. Uvesti smenu t=(ab)xt = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x, uz uslov t>0t > 0, i rešiti dobijenu kvadratnu jednačinu.

Korak 4. Za svako pozitivno rešenje tt vratiti smenu: rešiti (ab)x=t\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = t svođenjem na istu osnovu.

Primer: 3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x

Korak 1. Prepoznati osnove: 16=4216 = 4^2, 81=9281 = 9^2, 36=4⋅936 = 4 \cdot 9. Prepisati i prebaciti sve na levu stranu:

3⋅(4x)2−5⋅4x⋅9x+2⋅(9x)2=03 \cdot (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x + 2 \cdot (9^x)^2 = 0

Korak 2. Podeliti sa (9x)2(9^x)^2, što je uvek pozitivno:

3⋅(49)2x−5⋅(49)x+2=03 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 = 0

Korak 3. Uvesti smenu t=(49)xt = \left(\dfrac{4}{9}\right)^x, t>0t > 0:

3t2−5t+2=03t^2 - 5t + 2 = 0

t1,2=5±16  ⟹  t1=1,t2=23t_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{2}{3}

Korak 4. Vratiti smenu za oba rešenja.

Za t1=1t_1 = 1:

(49)x=1=(49)0  ⟹  x1=0\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1 = \left(\frac{4}{9}\right)^0 \implies x_1 = 0

Za t2=23t_2 = \dfrac{2}{3}, primetiti da je 49=(23)2\dfrac{4}{9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2, pa:

(23)2x=(23)1  ⟹  2x=1  ⟹  x2=12\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}

x∈{0,  12}\boxed{x \in \left\{0,\; \frac{1}{2}\right\}}

Kad se dobije t=1t = 1 kao rešenje, eksponent je uvek 0 bez obzira na osnovu, jer a0=1a^0 = 1.

Kad tt nije očigledan stepen osnove (npr. t=23t = \frac{2}{3}, a osnova je 49\frac{4}{9}), pokušati izraziti obe veličine kao stepene istog broja: 49=(23)2\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2.

4. Specijalni slučajevi

4.1 Jednačine oblika f(x)g(x)=1f(x)^{g(x)} = 1

Zašto je ovo specijalan slučaj? Kad su i baza i eksponent nepoznati, ne može se direktno "izjednačiti eksponente" jer osnove nisu fiksne. Umesto toga, treba pitati: na koji sve način stepen može biti jednak 1?

Jedine tri mogućnosti su:

Slučaj 1: baza je jednaka 1. Važi 1b=11^b = 1 za bilo koji eksponent bb. Rešiti f(x)=1f(x) = 1.

Slučaj 2: eksponent je jednak 0. Važi a0=1a^0 = 1 za svako a≠0a \neq 0. Rešiti g(x)=0g(x) = 0 i proveriti da baza nije 0 u toj tački.

Slučaj 3: baza je jednaka −1-1, a eksponent je paran. Važi (−1)2k=1(-1)^{2k} = 1. Rešiti f(x)=−1f(x) = -1 i proveriti da li g(x)g(x) zaista daje paran broj.

Ovo su sve moguće situacije u realnim brojevima. Nijedna druga vrednost baze uz nijedan eksponent ne daje 1, osim ove tri kombinacije.

Sva tri slučaja se moraju ispitati. Propustiti jedan slučaj znači propustiti rešenje.

Treći slučaj može dati f(x)=−1f(x) = -1 koje ima rešenja, ali ako se to rešenje uvrsti u eksponent g(x)g(x) i dobije neparan eksponent, ceo slučaj se odbacuje.

Zašto se proverava da baza nije 0 u slučaju 2? Izraz 000^0 je matematički nedefinisan, pa ako se desi da je f(x)=0f(x) = 0 baš kad je g(x)=0g(x) = 0, to rešenje se mora odbaciti.

Primer: (x2+1)2x−3=1(x^2 + 1)^{2x-3} = 1

Slučaj 1: Baza je 1:

x2+1=1  ⟹  x2=0  ⟹  x1=0x^2 + 1 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x_1 = 0

Slučaj 2: Eksponent je 0, uz proveru da baza nije 0:

2x−3=0  ⟹  x2=322x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}

(32)2+1=134≠0✓\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{13}{4} \neq 0 \quad \checkmark

Slučaj 3: Baza je −1-1 i eksponent je paran:

x2+1=−1  ⟹  x2=−2x^2 + 1 = -1 \implies x^2 = -2

Kvadrat realnog broja ne može biti negativan, ovaj slučaj nema rešenja.

x∈{0,  32}\boxed{x \in \left\{0,\; \frac{3}{2}\right\}}

4.2 Različite osnove koje se ne mogu svesti

Kad se osnove ne mogu svesti na istu bazu, a ne radi se o homogenoj jednačini, osnove se grupišu: sve sa jednom osnovom na jednu stranu, sve sa drugom na drugu, pa se deli.

Primer: 2x+4+2x+2=5x+1+3⋅5x2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x

Korak 1. Rastaviti stepene koristeći am+n=am⋅ana^{m+n} = a^m \cdot a^n:

16⋅2x+4⋅2x=5⋅5x+3⋅5x16 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x

Korak 2. Grupišati osnove:

20⋅2x=8⋅5x20 \cdot 2^x = 8 \cdot 5^x

Korak 3. Podeliti sa 5⋅5x5 \cdot 5^x (stepeni su pozitivni, deljenje je dozvoljeno):

2x5x=820=25\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

(25)x=(25)1\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^1

Korak 4. Izjednačiti eksponente:

x=1\boxed{x = 1}

5. Eksponencijalne nejednačine

Eksponencijalne nejednačine se rešavaju na isti način kao jednačine, ali s jednom bitnom razlikom pri prelasku na eksponente.

Pravilo promene znaka nejednačine:

  • Osnova a>1a > 1: eksponencijalna funkcija je rastuća, pa af(x)<ag(x)  ⟺  f(x)<g(x)a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x) (znak se ne menja).
  • Osnova 0<a<10 < a < 1: eksponencijalna funkcija je opadajuća, pa af(x)<ag(x)  ⟺  f(x)>g(x)a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) > g(x) (znak se menja).

5.1 Svođenje na istu osnovu

Primer: 52x−3>2⋅5x−2+35^{2x-3} > 2 \cdot 5^{x-2} + 3

Ova nejednačina ne može se svesti direktno na istu osnovu jer desna strana sadrži slobodnu konstantu 3. Uvodi se smena.

Korak 1. Sve izraziti preko 5x5^x koristeći am−n=amana^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}:

(5x)2125>2⋅5x25+3\frac{(5^x)^2}{125} > \frac{2 \cdot 5^x}{25} + 3

Korak 2. Uvesti smenu t=5xt = 5^x, t>0t > 0, pa pomnožiti sa 125:

t2>10t+375t^2 > 10t + 375

t2−10t−375>0t^2 - 10t - 375 > 0

Korak 3. Naći nule kvadratnog trinoma i odrediti znak: t1=25t_1 = 25, t2=−15t_2 = -15. Trinom je pozitivan za t<−15t < -15 ili t>25t > 25.

Korak 4. Uz uslov t>0t > 0, ostaje samo:

t>25t > 25

Korak 5. Vratiti smenu:

5x>25=525^x > 25 = 5^2

Korak 6. Osnova 5>15 > 1, znak se ne menja:

x∈(2,+∞)\boxed{x \in (2, +\infty)}

5.2 Smena kod nejednačina

Postupak je isti kao kod jednačina. Jedina razlika je da pri vraćanju smene treba pažljivo pratiti smer nejednačine u zavisnosti od osnove.

Primer: 9⋅16x+4⋅81x<13⋅36x9 \cdot 16^x + 4 \cdot 81^x < 13 \cdot 36^x

Korak 1. Prepoznati homogenu strukturu: 16=4216 = 4^2, 81=9281 = 9^2, 36=4⋅936 = 4 \cdot 9. Prebaciti sve na levu stranu:

9⋅(4x)2−13⋅4x⋅9x+4⋅(9x)2<09 \cdot (4^x)^2 - 13 \cdot 4^x \cdot 9^x + 4 \cdot (9^x)^2 < 0

Korak 2. Podeliti sa (9x)2>0(9^x)^2 > 0, znak se ne menja:

9⋅(49)2x−13⋅(49)x+4<09 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 4 < 0

Korak 3. Uvesti smenu t=(49)xt = \left(\dfrac{4}{9}\right)^x, t>0t > 0:

9t2−13t+4<09t^2 - 13t + 4 < 0

Korak 4. Naći nule: t1=49t_1 = \dfrac{4}{9}, t2=1t_2 = 1. Trinom je negativan za:

t∈(49,  1)t \in \left(\frac{4}{9},\; 1\right)

Korak 5. Vratiti smenu:

49<(49)x<1\frac{4}{9} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < 1

(49)1<(49)x<(49)0\left(\frac{4}{9}\right)^1 < \left(\frac{4}{9}\right)^x < \left(\frac{4}{9}\right)^0

Korak 6. Osnova 49<1\dfrac{4}{9} < 1, funkcija je opadajuća, znak nejednačine se menja:

0<x<10 < x < 1

x∈(0,1)\boxed{x \in (0, 1)}

Uvek na kraju proveriti da li rezultat pripada domenu. Kod nejednačina sa korenom (npr. x\sqrt{x} u eksponentu), domen može dodatno ograničiti skup rešenja.

Zadaci za vežbanje iz oblasti: Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

0,5x2−20x+61,5=820,5^{x^2-20x+61,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

9∣3x−1∣=38x−29^{|3x-1|} = 3^{8x-2}
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

3x232⋅3x3−1=1,5\frac{3^{\sqrt[3]{x^2}}}{2 \cdot 3^{\sqrt[3]{x}-1}} = 1,5
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: (53)x+1(925)x2+2x−11=(53)9 \left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{5}{3}\right)^9

Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: ax⋅a=a3/x, a^x \cdot \sqrt{a} = a^{3/x} , uz uslove a>0 a > 0 i a≠1. a \neq 1 .

ax⋅a=a3/xa^x \cdot \sqrt{a} = a^{3/x}
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

3x⋅72−x=213^x \cdot 7^{2-x} = 21
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 4x+1+4x=320. 4^{x+1} + 4^x = 320 .

4x+1+4x=3204^{x+1} + 4^x = 320
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

2⋅3x+1−4⋅3x−2=4502 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 450
Uvodni

Rešiti jednačinu: 161/x=8x 16^{1/x} = \sqrt{8x}

161x=8x16^{\frac{1}{x}} = \sqrt{8x}
Uvodni

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

0,5x2⋅22(x+1)⋅64=10,5^{x^2} \cdot 2^{2(x+1)} \cdot 64 = 1
Uvodni