Jednačina a na x puta koren iz a jednako a na 3/x

Prvo ćemo levu stranu jednačine svesti na jedan stepen sa osnovom $a .$ Koristimo pravilo za množenje stepena istih osnova i činjenicu da je koren stepen sa racionalnim eksponentom $\sqrt{a} = a^{1/2} .$

a^x \cdot a^{1/2} = a^{3/x}

Primenjujemo pravilo $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ na levu stranu jednačine.

a^{x + \frac{1}{2}} = a^{3/x}

Pošto su osnove stepena na obe strane jednake ( $a$ ) i ispunjavaju uslove $a > 0, a \neq 1 ,$ možemo izjednačiti njihove eksponente. Takođe, primećujemo da mora važiti $x \neq 0$ jer se $x$ nalazi u imeniocu.

x + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}

Množimo celu jednačinu sa $2x$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

2x \cdot \left( x + \frac{1}{2} \right) = 2x \cdot \frac{3}{x} \\ 2x^2 + x = 6

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

2x^2 + x - 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ,$ gde su $a=2, b=1, c=-6 .$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}

Određujemo pojedinačna rešenja za $x .$

x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq 0 ,$ pa su konačna rešenja jednačine:

x \in \left\{ -2, \frac{3}{2} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

479.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci