1958.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: ax⋅a=a3/x, a^x \cdot \sqrt{a} = a^{3/x} , uz uslove a>0 a > 0 i a≠1. a \neq 1 .

ax⋅a=a3/xa^x \cdot \sqrt{a} = a^{3/x}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo levu stranu jednačine svesti na jedan stepen sa osnovom a. a . Koristimo pravilo za množenje stepena istih osnova i činjenicu da je koren stepen sa racionalnim eksponentom a=a1/2. \sqrt{a} = a^{1/2} .

ax⋅a1/2=a3/xa^x \cdot a^{1/2} = a^{3/x}

Primenjujemo pravilo am⋅an=am+n a^m \cdot a^n = a^{m+n} na levu stranu jednačine.

ax+12=a3/xa^{x + \frac{1}{2}} = a^{3/x}

Pošto su osnove stepena na obe strane jednake (a a ) i ispunjavaju uslove a>0,a≠1, a > 0, a \neq 1 , možemo izjednačiti njihove eksponente. Takođe, primećujemo da mora važiti x≠0 x \neq 0 jer se x x nalazi u imeniocu.

x+12=3xx + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}

Množimo celu jednačinu sa 2x 2x kako bismo se oslobodili razlomaka.

2x⋅(x+12)=2x⋅3x2x2+x=62x \cdot \left( x + \frac{1}{2} \right) = 2x \cdot \frac{3}{x} \\ 2x^2 + x = 6

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

2x2+x−6=02x^2 + x - 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu x1,2=−b±b2−4ac2a, x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} , gde su a=2,b=1,c=−6. a=2, b=1, c=-6 .

x1,2=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2x1,2=−1±1+484x1,2=−1±494x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}

Određujemo pojedinačna rešenja za x. x .

x1=−1+74=64=32x2=−1−74=−84=−2x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2

Oba rešenja zadovoljavaju uslov x≠0, x \neq 0 , pa su konačna rešenja jednačine:

x∈{−2,32}x \in \left\{ -2, \frac{3}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti