1957. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da su osnove stepena povezane. Drugu osnovu možemo zapisati kao stepen prve osnove koristeći pravilo $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n :$

\frac{9}{25} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^{-2}

Zamenimo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left[\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}\right]^{x^2+2x-11} = \left(\frac{5}{3}\right)^9

Primenimo pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ na drugi član:

\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{-2(x^2+2x-11)} = \left(\frac{5}{3}\right)^9

Sredimo eksponent drugog člana:

-2(x^2+2x-11) = -2x^2 - 4x + 22

Koristimo pravilo za množenje stepena istih osnova $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ na levoj strani jednačine:

\left(\frac{5}{3}\right)^{(x+1) + (-2x^2 - 4x + 22)} = \left(\frac{5}{3}\right)^9

Pošto su osnove iste, izjednačavamo eksponente:

(x+1) - 2x^2 - 4x + 22 = 9

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

-2x^2 - 3x + 23 = 9 \\ -2x^2 - 3x + 14 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 14}}{2 \cdot (-2)}

Računamo vrednost diskriminante i rešenja:

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{-4} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{-4} = \frac{3 \pm 11}{-4}

Dobijamo dva konačna rešenja:

x_1 = \frac{3 + 11}{-4} = \frac{14}{-4} = -\frac{7}{2} \\ x_2 = \frac{3 - 11}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2

483.d