Eksponencijalna jednačina sa modulom 3x − 1

Prvo ćemo svesti obe strane jednačine na istu osnovu. Kako je $9 = 3^2 ,$ jednačinu možemo zapisati kao:

(3^2)^{|3x-1|} = 3^{8x-2}

Koristeći pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} ,$ dobijamo:

3^{2|3x-1|} = 3^{8x-2}

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce:

2|3x-1| = 8x-2

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $|3x-1| :$

|3x-1| = \begin{cases} 3x-1, & \text{za } 3x-1 \ge 0 \\ -(3x-1), & \text{za } 3x-1 < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova dobijamo:

|3x-1| = \begin{cases} 3x-1, & \text{za } x \ge \frac{1}{3} \\ -3x+1, & \text{za } x < \frac{1}{3} \end{cases}

Razmatramo prvi slučaj kada je $x \ge \frac{1}{3} :$

2(3x-1) = 8x-2 \\ 6x-2 = 8x-2 \\ 6x - 8x = -2 + 2 \\ -2x = 0 \\ x = 0

Proveravamo da li rešenje $x = 0$ zadovoljava uslov $x \ge \frac{1}{3} .$ Kako $0 < \frac{1}{3} ,$ ovo rešenje odbacujemo u prvom slučaju.

x = 0 \notin [\frac{1}{3}, +\infty)

Razmatramo drugi slučaj kada je $x < \frac{1}{3} :$

2(-3x+1) = 8x-2 \\ -6x+2 = 8x-2 \\ -6x - 8x = -2 - 2 \\ -14x = -4 \\ x = \frac{-4}{-14} \\ x = \frac{2}{7}

Proveravamo da li rešenje $x = \frac{2}{7}$ zadovoljava uslov $x < \frac{1}{3} .$ Upoređivanjem razlomaka $\frac{2}{7}$ i $\frac{1}{3}$ (unakrsnim množenjem: $2 \cdot 3 = 6$ i $1 \cdot 7 = 7$ ), vidimo da je $6 < 7 ,$ pa je $\frac{2}{7} < \frac{1}{3} .$ Rešenje je prihvatljivo.

x = \frac{2}{7} < \frac{1}{3}

Konačno rešenje jednačine je:

x = \frac{2}{7}

Započni učenje

Privatni časovi

483.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci