1955.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

9∣3x−1∣=38x−29^{|3x-1|} = 3^{8x-2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo svesti obe strane jednačine na istu osnovu. Kako je 9=32, 9 = 3^2 , jednačinu možemo zapisati kao:

(32)∣3x−1∣=38x−2(3^2)^{|3x-1|} = 3^{8x-2}

Koristeći pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n, (a^m)^n = a^{m \cdot n} , dobijamo:

32∣3x−1∣=38x−23^{2|3x-1|} = 3^{8x-2}

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce:

2∣3x−1∣=8x−22|3x-1| = 8x-2

Definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣3x−1∣: |3x-1| :

∣3x−1∣={3x−1,za 3x−1≥0−(3x−1),za 3x−1<0|3x-1| = \begin{cases} 3x-1, & \text{za } 3x-1 \ge 0 \\ -(3x-1), & \text{za } 3x-1 < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova dobijamo:

∣3x−1∣={3x−1,za x≥13−3x+1,za x<13|3x-1| = \begin{cases} 3x-1, & \text{za } x \ge \frac{1}{3} \\ -3x+1, & \text{za } x < \frac{1}{3} \end{cases}

Razmatramo prvi slučaj kada je x≥13: x \ge \frac{1}{3} :

2(3x−1)=8x−26x−2=8x−26x−8x=−2+2−2x=0x=02(3x-1) = 8x-2 \\ 6x-2 = 8x-2 \\ 6x - 8x = -2 + 2 \\ -2x = 0 \\ x = 0

Proveravamo da li rešenje x=0 x = 0 zadovoljava uslov x≥13. x \ge \frac{1}{3} . Kako 0<13, 0 < \frac{1}{3} , ovo rešenje odbacujemo u prvom slučaju.

x=0∉[13,+∞)x = 0 \notin [\frac{1}{3}, +\infty)

Razmatramo drugi slučaj kada je x<13: x < \frac{1}{3} :

2(−3x+1)=8x−2−6x+2=8x−2−6x−8x=−2−2−14x=−4x=−4−14x=272(-3x+1) = 8x-2 \\ -6x+2 = 8x-2 \\ -6x - 8x = -2 - 2 \\ -14x = -4 \\ x = \frac{-4}{-14} \\ x = \frac{2}{7}

Proveravamo da li rešenje x=27 x = \frac{2}{7} zadovoljava uslov x<13. x < \frac{1}{3} . Upoređivanjem razlomaka 27 \frac{2}{7} i 13 \frac{1}{3} (unakrsnim množenjem: 2⋅3=6 2 \cdot 3 = 6 i 1⋅7=7 1 \cdot 7 = 7 ), vidimo da je 6<7, 6 < 7 , pa je 27<13. \frac{2}{7} < \frac{1}{3} . Rešenje je prihvatljivo.

x=27<13x = \frac{2}{7} < \frac{1}{3}

Konačno rešenje jednačine je:

x=27x = \frac{2}{7}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti