1956. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo ćemo transformisati desnu stranu jednačine. Broj $1,5$ možemo zapisati kao razlomak $\frac{3}{2} .$

\frac{3^{\sqrt[3]{x^2}}}{2 \cdot 3^{\sqrt[3]{x}-1}} = \frac{3}{2}

Množenjem obe strane jednačine brojem $2 ,$ eliminišemo imenioce koji sadrže dvojku.

\frac{3^{\sqrt[3]{x^2}}}{3^{\sqrt[3]{x}-1}} = 3

Koristimo pravilo za deljenje stepena sa istim osnovama $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$ Na desnoj strani, broj $3$ pišemo kao $3^1 .$

3^{\sqrt[3]{x^2} - (\sqrt[3]{x} - 1)} = 3^1

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo eksponente:

\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1 = 1

Sređujemo jednačinu oduzimanjem broja $1$ sa obe strane:

\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} = 0

Uvodimo smenu $t = \sqrt[3]{x} .$ Tada je $t^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2} .$

t^2 - t = 0

Rešavamo nepotpunu kvadratnu jednačinu izvlačenjem zajedničkog faktora $t :$

t(t - 1) = 0

Proizvod je nula ako je bar jedan od činilaca nula:

t_1 = 0 \quad \text{ili} \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za oba slučaja:

\begin{aligned} 1) \quad \sqrt[3]{x} &= 0 \implies x_1 = 0^3 = 0 \\ 2) \quad \sqrt[3]{x} &= 1 \implies x_2 = 1^3 = 1 \end{aligned}

Rešenja jednačine su:

x \in \{0, 1\}

1956.Eksponencijalne jednačine i nejednačine