1954. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo ćemo obe strane jednačine svesti na istu osnovu. Broj $0,5$ možemo zapisati kao razlomak $\frac{1}{2} ,$ što je zapravo $2^{-1} .$

0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}

Sada transformišemo desnu stranu jednačine. Broj $8$ je $2^3 ,$ a $\sqrt{2}$ je $2^{\frac{1}{2}} .$

\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2^3}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{3 - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}

Zamenimo dobijene izraze u početnu jednačinu:

(2^{-1})^{x^2-20x+61,5} = 2^{\frac{5}{2}}

Primenimo pravilo za stepenovanje stepena $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ i zapišemo $\frac{5}{2}$ kao $2,5 :$

2^{-(x^2-20x+61,5)} = 2^{2,5}

Pošto su osnove iste, izjednačavamo eksponente:

-(x^2-20x+61,5) = 2,5

Sredimo jednačinu tako da dobijemo kvadratnu jednačinu u standardnom obliku:

-x^2 + 20x - 61,5 = 2,5 \\ -x^2 + 20x - 64 = 0 \\ x^2 - 20x + 64 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2}

Konačna rešenja su:

x_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \\ x_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4

1954.Eksponencijalne jednačine i nejednačine