Jednačina 16 na 1/x jednako koren iz 8x

Prvo određujemo domen jednačine. Zbog korena i razlomka u eksponentu, moramo imati $8x \ge 0$ i $x \neq 0 .$ Iz toga sledi da je $x > 0 .$

D: x \in (0, +\infty)

Svedimo obe strane jednačine na stepene sa osnovom 2. Znamo da je $16 = 2^4$ i $8 = 2^3 .$

(2^4)^{\frac{1}{x}} = (2^3 \cdot x)^{\frac{1}{2}}

Primenjujemo pravila za stepenovanje $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ i koren $\sqrt{ab} = a^{1/2}b^{1/2} .$

2^{\frac{4}{x}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 2 kako bismo oslobodili eksponente.

\log_2(2^{\frac{4}{x}}) = \log_2(2^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})

Koristimo osobine logaritma $\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$ i $\log_a M^k = k \log_a M .$

\frac{4}{x} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_2 x

Množimo celu jednačinu sa 2 da bismo uklonili razlomke.

\frac{8}{x} = 3 + \log_2 x

Ova jednačina je transcendentna. Proveravamo celobrojne stepene dvojke kao potencijalna rešenja. Za $x = 2 :$

\frac{8}{2} = 3 + \log_2 2 \implies 4 = 3 + 1

Pošto je jednakost tačna, $x = 2$ je rešenje jednačine. Funkcija na levoj strani $f(x) = 8/x$ je opadajuća, a na desnoj $g(x) = 3 + \log_2 x$ je rastuća za $x > 0 ,$ pa je ovo jedinstveno rešenje.

x = 2

Započni učenje

Privatni časovi

479.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci