Jednačina sa osnovama 0,5, 2 i 64

Prvi korak u rešavanju je svođenje svih osnova na istu osnovu. Primetićemo da se svi brojevi mogu izraziti kao stepeni broja 2. Zapišimo $0,5 ,$ $64$ i $1$ preko osnove 2:

0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \\ 64 = 2^6 \\ 1 = 2^0

Zamenimo ove vrednosti u početnu jednačinu:

(2^{-1})^{x^2} \cdot 2^{2(x+1)} \cdot 2^6 = 2^0

Koristimo pravilo za stepenovanje stepena $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ i sredimo eksponente:

2^{-x^2} \cdot 2^{2x+2} \cdot 2^6 = 2^0

Koristimo pravilo za množenje stepena istih osnova $a^n \cdot a^m = a^{n+m} ,$ tako što saberemo eksponente na levoj strani:

2^{-x^2 + 2x + 2 + 6} = 2^0 \\ 2^{-x^2 + 2x + 8} = 2^0

Pošto su osnove na obe strane jednake, možemo izjednačiti eksponente:

-x^2 + 2x + 8 = 0

Dobili smo kvadratnu jednačinu. Pomnožimo celu jednačinu sa $-1$ radi lakšeg računanja i primenimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x^2 - 2x - 8 = 0 \\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i nalazimo rešenja:

x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Započni učenje

Privatni časovi

479.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci