Podeli

1992.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Pošto se promenljiva $x$ nalazi u imeniocu eksponenta, mora važiti:

x \neq 0

Primetimo da se jednačina može zapisati u obliku pogodnom za uvođenje smene, koristeći pravilo stepenovanja $(a^m)^n = a^{m \cdot n} :$

(4^{1/x})^2 - 5 \cdot 4^{1/x} + 4 = 0

Uvodimo smenu:

t = 4^{1/x}, \quad t > 0

Zamenom smene u početnu jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 - 5t + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu:

t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednosti za $t :$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1

Sada vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 4 :$

4^{1/x} = 4^1 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x_1 = 1

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 :$

4^{1/x} = 1 \implies 4^{1/x} = 4^0 \implies \frac{1}{x} = 0

Jednačina $\frac{1}{x} = 0$ nema rešenja jer razlomak može biti nula samo ako je brojilac nula, što ovde nije slučaj.

Jedino rešenje polazne jednačine je:

x = 1

1992.Eksponencijalne jednačine i nejednačine