Jednačina sa 5 na 2x − 3 i 5 na x − 2

Prvo transformišemo eksponente koristeći pravilo stepenovanja $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ kako bismo izolovali stepene sa nepoznatom $x .$

\frac{5^{2x}}{5^3} = 2 \cdot \frac{5^x}{5^2} + 3

Zamenimo vrednosti stepena broja 5 ( $5^3 = 125$ i $5^2 = 25$ ) u jednačinu.

\frac{5^{2x}}{125} = \frac{2 \cdot 5^x}{25} + 3

Uvodimo smenu $t = 5^x ,$ pri čemu mora važiti uslov $t > 0 .$ Tada je $5^{2x} = (5^x)^2 = t^2 .$

\frac{t^2}{125} = \frac{2t}{25} + 3

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za 125 i 25, a to je 125, kako bismo se oslobodili razlomaka.

t^2 = 5 \cdot 2t + 125 \cdot 3

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu da bismo dobili kvadratnu jednačinu po $t .$

t^2 - 10t - 375 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i korene.

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1500}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{10 \pm 40}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{-30}{2} = -15

Proveravamo uslov smene $t > 0 .$ Rešenje $t_2 = -15$ odbacujemo jer eksponencijalna funkcija ne može biti negativna. Vraćamo se na smenu sa $t_1 = 25 .$

5^x = 25

Zapišemo broj 25 kao stepen osnove 5 i izjednačimo eksponente.

5^x = 5^2 \implies x = 2

Započni učenje

Privatni časovi

484.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci