Jednačina 4 na x minus 10 puta 2 na x − 1

Prvo transformišemo članove jednačine tako da dobijemo zajedničku osnovu $2 .$ Koristimo pravila za stepenovanje $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ i $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2} .$

2^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} = 24

Sredimo drugi član deljenjem brojeva $10$ i $2 .$

(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 24 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ uz uslov da je $t > 0$ jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna.

t^2 - 5t - 24 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i rešenja za $t .$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za $t .$

t_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3

Proveravamo uslov $t > 0 .$ Rešenje $t_2 = -3$ odbacujemo jer eksponencijalna funkcija ne može biti negativna. Vraćamo smenu za $t_1 = 8 .$

2^x = 8

Broj $8$ zapisujemo kao stepen osnove $2 ,$ odakle direktno dobijamo rešenje jednačine.

2^x = 2^3 \implies x = 3

Započni učenje

Privatni časovi

484.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci