1994.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 4x−10⋅2x−1=24. 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} = 24 .

4x−10⋅2x−1=244^x - 10 \cdot 2^{x-1} = 24
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo članove jednačine tako da dobijemo zajedničku osnovu 2. 2 . Koristimo pravila za stepenovanje 4x=(22)x=22x 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} i 2x−1=2x⋅2−1=2x2. 2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2} .

22x−10⋅2x2=242^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} = 24

Sredimo drugi član deljenjem brojeva 10 10 i 2. 2 .

(2x)2−5⋅2x−24=0(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 24 = 0

Uvodimo smenu t=2x, t = 2^x , uz uslov da je t>0 t > 0 jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna.

t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t t koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t1,2=−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅(−24)2⋅1t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i rešenja za t. t .

t1,2=5±25+962=5±1212=5±112t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za t. t .

t1=5+112=8,t2=5−112=−3t_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3

Proveravamo uslov t>0. t > 0 . Rešenje t2=−3 t_2 = -3 odbacujemo jer eksponencijalna funkcija ne može biti negativna. Vraćamo smenu za t1=8. t_1 = 8 .

2x=82^x = 8

Broj 8 8 zapisujemo kao stepen osnove 2, 2 , odakle direktno dobijamo rešenje jednačine.

2x=23  ⟹  x=32^x = 2^3 \implies x = 3

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti