1995. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da je $4^{x^2+2}$ isto što i $(2^2)^{x^2+2} ,$ odnosno $(2^{x^2+2})^2 .$ Jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku:

(2^{x^2+2})^2 - 9 \cdot 2^{x^2+2} + 8 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^{x^2+2} ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$ Dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 - 9t + 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine:

t_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2}

Računamo vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = 8 :$

2^{x^2+2} = 8 \implies 2^{x^2+2} = 2^3

Izjednačavamo izložioce:

x^2 + 2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = 1 :$

2^{x^2+2} = 1 \implies 2^{x^2+2} = 2^0

Izjednačavamo izložioce:

x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2

Pošto kvadrat realnog broja ne može biti negativan, jednačina $x^2 = -2$ nema realnih rešenja.

x \in \emptyset

Konačna rešenja polazne jednačine su:

x_1 = 1, \quad x_2 = -1

484.ž