2030. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primenjujemo pravilo za stepenovanje $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ kako bismo transformisali drugi član jednačine.

5^{x} - \frac{5^{3}}{5^{x}} = 20

Računamo vrednost $5^3 = 125$ i uvodimo smenu $t = 5^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

t - \frac{125}{t} = 20

Množimo celu jednačinu sa $t$ (pošto je $t > 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomka i dobili kvadratnu jednačinu.

t^2 - 125 = 20t \implies t^2 - 20t - 125 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125)}}{2 \cdot 1}

Sređujemo izraz pod korenom i računamo rešenja za $t .$

t_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 500}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{20 \pm 30}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za $t .$

t_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{-10}{2} = -5

Pošto je uslov smene $t > 0 ,$ rešenje $t_2 = -5$ odbacujemo. Vraćamo se na smenu sa $t_1 = 25 .$

5^x = 25

Zapisujemo broj 25 kao stepen osnove 5 i izjednačavamo izložioce.

5^x = 5^2 \implies x = 2

484.b