2031. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primenjujemo pravila za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ kako bismo razdvojili članove sa nepoznatom.

5^{2x} \cdot 5^{-1} + 5^x \cdot 5^1 = 250

Sređujemo koeficijente uz stepene osnove 5.

\frac{1}{5} \cdot (5^x)^2 + 5 \cdot 5^x = 250

Uvodimo smenu $t = 5^x ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$

\frac{1}{5} t^2 + 5t - 250 = 0

Množimo celu jednačinu sa 5 kako bismo eliminisali razlomak.

t^2 + 25t - 1250 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1250)}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu i vrednosti za $t .$

t_{1,2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 5000}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{5625}}{2} = \frac{-25 \pm 75}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za $t .$

t_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{-100}{2} = -50

Pošto je uslov smene $t > 0 ,$ odbacujemo rešenje $t_2 = -50$ i vraćamo se na smenu sa $t_1 = 25 .$

5^x = 25

Zapisujemo broj 25 kao stepen osnove 5 i određujemo vrednost nepoznate $x .$

5^x = 5^2 \implies x = 2

484.v