1990. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da je $4^x$ isto što i $(2^2)^x ,$ odnosno $(2^x)^2 .$ Prebacujemo sve članove na jednu stranu jednačine kako bismo dobili kvadratni oblik.

10 \cdot 2^x - (2^x)^2 - 16 = 0

Množimo celu jednačinu sa $-1$ i sređujemo redosled članova radi lakšeg uvođenja smene.

(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$

t^2 - 10t + 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i korena.

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{10 + 6}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{10 - 6}{2} = 2

Vraćamo smenu $t = 2^x$ za oba rešenja. Prvo rešenje:

2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_1 = 3

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_2 = 1

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{1, 3\}

1990.Eksponencijalne jednačine i nejednačine