1996.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 32x+1+20⋅3x+3=0. 3^{2x+1} + 20 \cdot 3^x + 3 = 0 .

32x+1+20⋅3x+3=03^{2x+1} + 20 \cdot 3^x + 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo prvi član koristeći pravilo za stepenovanje am+n=am⋅an. a^{m+n} = a^m \cdot a^n .

32x⋅31+20⋅3x+3=03^{2x} \cdot 3^1 + 20 \cdot 3^x + 3 = 0

Zatim izraz 32x 3^{2x} pišemo kao (3x)2 (3^x)^2 kako bismo uveli smenu.

3⋅(3x)2+20⋅3x+3=03 \cdot (3^x)^2 + 20 \cdot 3^x + 3 = 0

Uvodimo smenu t=3x, t = 3^x , pri čemu mora važiti t>0. t > 0 .

3t2+20t+3=03t^2 + 20t + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t1,2=−20±202−4⋅3⋅32⋅3t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}

Računamo vrednost diskriminante i korena.

t1,2=−20±400−366=−20±3646t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 36}}{6} = \frac{-20 \pm \sqrt{364}}{6}

Kako je 364=4⋅91=291, \sqrt{364} = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91} , dobijamo rešenja za t. t .

t1=−20+2916=−10+913,t2=−10−913t_1 = \frac{-20 + 2\sqrt{91}}{6} = \frac{-10 + \sqrt{91}}{3}, \quad t_2 = \frac{-10 - \sqrt{91}}{3}

Proveravamo uslov t>0. t > 0 . Pošto je 91<100=10, \sqrt{91} < \sqrt{100} = 10 , broj −10+91 -10 + \sqrt{91} je negativan. Takođe, t2 t_2 je očigledno negativno.

t1<0,t2<0t_1 < 0, \quad t_2 < 0

S obzirom na to da su oba rešenja kvadratne jednačine negativna, a eksponencijalna funkcija 3x 3^x mora uvek biti pozitivna, polazna jednačina nema realnih rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti