Jednačina 3 na 2x + 1 plus 20 puta 3 na x plus 3

Prvo transformišemo prvi član koristeći pravilo za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n .$

3^{2x} \cdot 3^1 + 20 \cdot 3^x + 3 = 0

Zatim izraz $3^{2x}$ pišemo kao $(3^x)^2$ kako bismo uveli smenu.

3 \cdot (3^x)^2 + 20 \cdot 3^x + 3 = 0

Uvodimo smenu $t = 3^x ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$

3t^2 + 20t + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}

Računamo vrednost diskriminante i korena.

t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 36}}{6} = \frac{-20 \pm \sqrt{364}}{6}

Kako je $\sqrt{364} = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91} ,$ dobijamo rešenja za $t .$

t_1 = \frac{-20 + 2\sqrt{91}}{6} = \frac{-10 + \sqrt{91}}{3}, \quad t_2 = \frac{-10 - \sqrt{91}}{3}

Proveravamo uslov $t > 0 .$ Pošto je $\sqrt{91} < \sqrt{100} = 10 ,$ broj $-10 + \sqrt{91}$ je negativan. Takođe, $t_2$ je očigledno negativno.

t_1 < 0, \quad t_2 < 0

S obzirom na to da su oba rešenja kvadratne jednačine negativna, a eksponencijalna funkcija $3^x$ mora uvek biti pozitivna, polazna jednačina nema realnih rešenja.

x \in \emptyset

Započni učenje

Privatni časovi

484.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci