2066. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Prvo transformišemo prvi član koristeći pravila stepenovanja $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{bc} = (a^b)^c .$

4^{-x} \cdot 4^{0,5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0 \\ (2^2)^{-x} \cdot \sqrt{4} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0 \\ 2 \cdot (2^{-x})^2 - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0

Uvodimo smenu $t = 2^{-x} ,$ pri čemu mora važiti $t > 0$ jer je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna.

t = 2^{-x}, \quad t > 0

Zamenom smene dobijamo kvadratnu nejednačinu po $t :$

2t^2 - 7t - 4 < 0

Računamo nule kvadratnog trinoma $2t^2 - 7t - 4 = 0$ koristeći kvadratnu formulu.

t_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} \\ t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} \\ t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} \\ t_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4, \quad t_2 = \frac{7 - 9}{4} = -0,5

Kvadratna funkcija $2t^2 - 7t - 4$ je negativna (ispod x-ose) između svojih nula.

t \in (-0,5, 4)

Uzimajući u obzir uslov smene $t > 0 ,$ dobijamo interval za $t :$

0 < t < 4

Vraćamo smenu $t = 2^{-x}$ u dobijenu nejednačinu. Pošto je $2^{-x}$ uvek veće od 0, rešavamo samo desni deo nejednačine.

2^{-x} < 4 \\ 2^{-x} < 2^2

Pošto je osnova stepena $2 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti pri poređenju eksponenata.

-x < 2 \\ x > -2

Konačno rešenje nejednačine zapisujemo u obliku intervala.

x \in (-2, +\infty)

2066.Eksponencijalne jednačine i nejednačine