Eksponencijalna nejednačina: 2 na x + 2 na 1−x < 3

Prvo transformišemo drugi sabirak koristeći pravilo za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n .$

2^x + 2^{-x} \cdot 2^1 - 3 < 0 \\ 2^x + \frac{2}{2^x} - 3 < 0

Uvodimo smenu $t = 2^x .$ Kako je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$

t + \frac{2}{t} - 3 < 0

Pomnožimo celu nejednačinu sa $t$ (pošto je $t > 0 ,$ smer nejednakosti se ne menja) i sredimo izraz u kvadratni oblik.

t^2 + 2 - 3t < 0 \\ t^2 - 3t + 2 < 0

Računamo nule kvadratnog trinoma $t^2 - 3t + 2 = 0$ koristeći kvadratnu formulu.

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \\ t_1 = 1, \quad t_2 = 2

t \in (0, 1)

t \in (1, 2)

t \in (2, +\infty)

t-1

-

+

+

t-2

-

-

+

t^2-3t+2

+

-

+

Iz tabele vidimo da je kvadratni izraz negativan za $t \in (1, 2) .$ Sada vraćamo smenu.

1 < t < 2 \\ 1 < 2^x < 2

Zapišemo brojeve 1 i 2 kao stepene osnove 2.

2^0 < 2^x < 2^1

Pošto je osnova $a = 2 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti zadržava pri prelasku na eksponente.

0 < x < 1

Konačno rešenje nejednačine je interval:

x \in (0, 1)

491.a