Eksponencijalna nejednačina sa x na kvadrat u izložiocu

Prvo transformišemo osnove stepena tako da dobijemo zajedničku osnovu $2 .$ Koristimo pravilo $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ i $a^{m+n} = a^m \cdot a^n .$

(2^2)^{1-x^2} + 2^2 \cdot 2^{-x^2} > 3 \\ 2^{2-2x^2} + 4 \cdot 2^{-x^2} > 3

Dodatno sređujemo prvi član koristeći pravilo $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} .$

\frac{2^2}{2^{2x^2}} + \frac{4}{2^{x^2}} > 3 \\ \frac{4}{(2^{x^2})^2} + \frac{4}{2^{x^2}} - 3 > 0

Uvodimo smenu $t = \frac{1}{2^{x^2}} .$ Primetimo da je $2^{x^2} \ge 2^0 = 1$ za svako realno $x ,$ pa je $0 < t \le 1 .$

4t^2 + 4t - 3 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $4t^2 + 4t - 3 = 0$ da bismo odredili nule kvadratnog trinoma.

t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} \\ t_1 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{1}{2}

Kvadratna funkcija $4t^2 + 4t - 3$ je pozitivna van intervala korena.

t \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)

Uzimajući u obzir uslov smene $0 < t \le 1 ,$ dobijamo interval za $t :$

t \in (\frac{1}{2}, 1]

Vraćamo smenu $t = 2^{-x^2} .$ Rešavamo nejednačinu po $x :$

2^{-x^2} > \frac{1}{2} \\ 2^{-x^2} > 2^{-1}

Pošto je osnova $2 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja pri prelasku na eksponente.

-x^2 > -1 \\ x^2 < 1 \\ x^2 - 1 < 0

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 1)

x \in (1, +\infty)

x-1

-

-

+

x+1

-

+

+

x^2-1

+

-

+

Konačno rešenje nejednačine je interval gde je izraz negativan.

x \in (-1, 1)

491.đ