Podeli

2121.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravila za stepenovanje $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ kako bismo izdvojili $5^x .$

\frac{5^{2x}}{5^3} > 2 \cdot \frac{5^x}{5^2} + 3

Sređujemo izraz prepoznavajući da je $5^{2x} = (5^x)^2$ i računamo stepene u imeniocu.

\frac{(5^x)^2}{125} > \frac{2 \cdot 5^x}{25} + 3

Uvodimo smenu $t = 5^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$

\frac{t^2}{125} > \frac{2t}{25} + 3

Množimo celu nejednačinu sa 125 kako bismo se oslobodili razlomaka.

t^2 > 10t + 375

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu.

t^2 - 10t - 375 > 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $t^2 - 10t - 375 = 0$ tražeći njene korene.

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375)}}{2}

Računamo vrednost diskriminante i nalazimo korene.

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1500}}{2} = \frac{10 \pm 40}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 25, \quad t_2 = -15

Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku kako bismo analizirali znak.

(t + 15)(t - 25) > 0

t \in (-\infty, -15)

t \in (-15, 25)

t \in (25, +\infty)

t+15

+

+

+

t-25

+

+

+

(t+15)(t-25)

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je unija intervala:

t \in (-\infty, -15) \cup (25, +\infty)

Međutim, zbog početnog uslova smene $t > 0 ,$ negativni deo rešenja odbacujemo. Ostaje samo:

t > 25

Vraćamo smenu $t = 5^x .$

5^x > 25

Zapisujemo 25 kao stepen osnove 5.

5^x > 5^2

Pošto je osnova veća od 1 ( $5 > 1$ ), znak nejednakosti se ne menja prilikom prelaska na izložioce.

x > 2

Konačno rešenje zapisujemo u obliku intervala.

x \in (2, +\infty)

2121.Eksponencijalne jednačine i nejednačine