2051. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo svodimo obe strane nejednačine na istu osnovu. Broj $9$ možemo napisati kao $3^2 ,$ što je isto što i $(\frac{1}{3})^{-2} .$

\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{|x+2|}{2-|x|}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

Pošto je osnova $a = \frac{1}{3}$ manja od 1, pri prelasku na eksponente znak nejednakosti se menja.

\frac{|x+2|}{2-|x|} < -2

Prebacujemo sve na levu stranu i sređujemo izraz.

\frac{|x+2|}{2-|x|} + 2 < 0 \implies \frac{|x+2| + 2(2-|x|)}{2-|x|} < 0 \implies \frac{|x+2| + 4 - 2|x|}{2-|x|} < 0

Definišemo apsolutne vrednosti koje se pojavljuju u izrazu.

|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{za } x \ge -2 \\ -(x+2), & \text{za } x < -2 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost.

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Razmatramo tri slučaja na osnovu nula izraza pod apsolutnim vrednostima ( $x = -2$ i $x = 0$ ).

Slučaj 1: $x < -2 .$ Tada je $|x+2| = -x-2$ i $|x| = -x .$

\frac{-x-2 + 4 - 2(-x)}{2 - (-x)} < 0 \implies \frac{x+2}{2+x} < 0 \implies 1 < 0

U prvom slučaju dobijamo netačnu tvrdnju, pa ovde nema rešenja.

x \in \emptyset

Slučaj 2: $-2 \le x < 0 .$ Tada je $|x+2| = x+2$ i $|x| = -x .$

\frac{x+2 + 4 - 2(-x)}{2 - (-x)} < 0 \implies \frac{3x+6}{x+2} < 0 \implies \frac{3(x+2)}{x+2} < 0 \implies 3 < 0

U drugom slučaju takođe dobijamo netačnu tvrdnju, pa nema rešenja.

x \in \emptyset

Slučaj 3: $x \ge 0 .$ Tada je $|x+2| = x+2$ i $|x| = x .$

\frac{x+2 + 4 - 2x}{2-x} < 0 \implies \frac{6-x}{2-x} < 0

x \in [0, 2)

x \in (2, 6)

x \in (6, +\infty)

6-x

+

+

-

2-x

+

-

-

\frac{6-x}{2-x}

+

-

+

Iz tabele vidimo da je izraz negativan za $x \in (2, 6) .$ Proveravamo uslov domena ( $|x| \neq 2$ ), što je ispunjeno.

x \in (2, 6)

Konačno rešenje nejednačine je unija rešenja iz svih slučajeva.

x \in (2, 6)

490.e