Logaritamska funkcija i njen grafik

Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj: tamo gde eksponencijalna uzima $x$ i vraća $a^x$, logaritamska uzima $a^x$ i vraća $x$. Zbog toga im se grafici dobijaju jedan iz drugog refleksijom u odnosu na pravu $y = x$.

---

Sadržaj

1. Grafik osnovne funkcije $y = \log_a x$
2. Transformacije
3. Funkcije sa apsolutnom vrednošću

---

1. Grafik osnovne funkcije $y = \log_a x$

Logaritamska funkcija oblika $y = \log_a x$ (gde je $a > 0$, $a \neq 1$) crta se praćenjem nekoliko ključnih koraka.

Zašto $a > 0$ i $a \neq 1$? Osnova mora biti pozitivna da bi $a^x$ bila definisana za svako $x$, a $a = 1$ bi davalo $\log_1 x$ koji nije definisan jer ne postoji stepen broja 1 koji bi dao bilo koji broj osim 1.

Pre nego što se nacrtaju tačke, korisno je znati stvari koje važe uvek, bez obzira na vrednost osnove:

Domen: Pošto logaritam postoji samo za pozitivne brojeve, $x$ mora biti strogo veće od nule ($x \in (0, +\infty)$). Grafik se nalazi desno od y-ose.

Nula funkcije: Grafik uvek seče x-osu u tački $(1, 0)$, jer je $\log_a 1 = 0$ za bilo koju osnovu. Grafik prolazi i kroz tačku $(a, 1)$, jer je $\log_a a = 1$.

Asimptota: Y-osa ($x = 0$) je vertikalna asimptota. Grafik se beskonačno približava y-osi, ali je nikada ne dodiruje niti seče.

Znak funkcije:

• Ako je $a > 1$: funkcija je pozitivna za $x > 1$, negativna za $x \in (0, 1)$
• Ako je $0 < a < 1$: situacija je obrnuta, pozitivna za $x \in (0, 1)$, negativna za $x > 1$

U zavisnosti od vrednosti osnove $a$ razlikujemo dva osnovna oblika grafika.

Slučaj $a > 1$ (rastuća funkcija)

Funkcija je strogo rastuća. Kako se vrednosti $x$ povećavaju, rastu i vrednosti $y$. Grafik se penje sleva nadesno, prolazeći kroz tačke $(1, 0)$ i $(a, 1)$. Za $x \to 0^+$ grafik teži $-\infty$.

Slučaj $0 < a < 1$ (opadajuća funkcija)

Funkcija je strogo opadajuća. Kako se $x$ povećava, $y$ opada. Grafik se spušta sleva nadesno, prolazeći kroz tačke $(1, 0)$ i $(a, 1)$. Za $x \to 0^+$ grafik teži $+\infty$.

---

2. Transformacije

Kao i kod eksponencijalne, sve funkcije oblika $y = c \cdot \log_a(x - k) + d$ nastaju transformacijama osnovnog grafika:

• $k$ (u argumentu): horizontalno pomeranje. Vertikalna asimptota se pomera iz $x = 0$ na $x = k$.
• $|c|$: vertikalno istezanje ili sabijanje
• predznak $c$: ako je $c < 0$, refleksija u odnosu na x-osu
• $d$: vertikalno pomeranje

---

3. Funkcije sa apsolutnom vrednošću

Apsolutna vrednost se može pojaviti na dva mesta: unutar argumenta logaritma ili spolja oko celog logaritma. Svaki slučaj se rešava razvijanjem po definiciji.

Apsolutna vrednost u argumentu: $y = \log_a |x|$

Pošto je $|x| = x$ za $x > 0$ i $|x| = -x$ za $x < 0$, funkcija postaje:

$y = \begin{cases} \log_a x, & x > 0 \\ \log_a(-x), & x < 0 \end{cases}$

Grafik je simetričan u odnosu na y-osu: leva grana je slika desne strane u ogledalu.

Apsolutna vrednost oko logaritma: $y = |\log_a x|$

Deo grafika koji se nalazi ispod x-ose (gde je $\log_a x < 0$) reflektuje se naviše. Deo koji je iznad x-ose ostaje nepromenjen.