2218. Logaritamska funkcija i njen grafik

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Logaritamska funkcija je definisana kada je njen argument strogo veći od nule. Kako je argument apsolutna vrednost $|x| ,$ on je uvek nenegativan, pa je jedini uslov da argument ne bude nula.

|x| > 0 \implies x \neq 0

Definišemo apsolutnu vrednost $|x|$ prema definiciji:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x > 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Sada funkciju $f(x)$ možemo zapisati kao razgranatu funkciju na dva intervala:

f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & \text{za } x > 0 \\ \log_2 (-x), & \text{za } x < 0 \end{cases}

Analiziramo prvi deo grafika za $x > 0 .$ To je osnovna logaritamska funkcija $y = \log_2 x .$ Ona prolazi kroz tačku $(1, 0) ,$ raste jer je osnova $2 > 1 ,$ i ima vertikalnu asimptotu $x = 0 .$

f(1) = \log_2 1 = 0, \quad f(2) = \log_2 2 = 1, \quad f(4) = \log_2 4 = 2

Analiziramo drugi deo grafika za $x < 0 .$ Funkcija $y = \log_2 (-x)$ predstavlja osnu simetriju grafika $y = \log_2 x$ u odnosu na $y$ -osu. Ona prolazi kroz tačku $(-1, 0)$ i raste ka nuli sa leve strane.

f(-1) = \log_2 |-1| = 0, \quad f(-2) = \log_2 |-2| = 1, \quad f(-4) = \log_2 |-4| = 2

Primetimo da je funkcija parna jer važi $f(-x) = \log_2 |-x| = \log_2 |x| = f(x) .$ To znači da je grafik simetričan u odnosu na $y$ -osu. Konačan grafik se sastoji od dve grane koje su simetrične u odnosu na ordinatnu osu.

524.v