Podeli

2217.
Logaritamska funkcija i njen grafik

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Argument logaritma mora biti pozitivan, a imenilac različit od nule.

x^2 > 0 \implies x \neq 0 \\ x > 0 \\ |\log_2 x| \neq 0 \implies \log_2 x \neq 0 \implies x \neq 1

Dakle, domen funkcije je skup svih realnih brojeva $x$ takvih da je:

D_f = (0, 1) \cup (1, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma $\log_a x^n = n \log_a x$ za $x > 0$ kako bismo pojednostavili brojilac.

\log_2 x^2 = 2 \log_2 x

Sada definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću u imeniocu.

|\log_2 x| = \begin{cases} \log_2 x, & \text{za } \log_2 x \ge 0 \\ -\log_2 x, & \text{za } \log_2 x < 0 \end{cases}

x \in (0, 1)

x \in (1, +\infty)

\log_2 x

-

+

Razmatramo funkciju u dva slučaja na osnovu znaka izraza u apsolutnoj vrednosti.

y = \begin{cases} \frac{2 \log_2 x}{\log_2 x}, & x \in (1, +\infty) \\ \frac{2 \log_2 x}{-\log_2 x}, & x \in (0, 1) \end{cases}

Skraćivanjem logaritamskih izraza (što je dozvoljeno jer su različiti od nule na domenu), dobijamo konačan oblik funkcije.

y = \begin{cases} 2, & x \in (1, +\infty) \\ -2, & x \in (0, 1) \end{cases}

Grafik funkcije se sastoji od dva poluprava dela: horizontalna duž na nivou $y = -2$ za $x$ između 0 i 1, i horizontalna poluprava na nivou $y = 2$ za $x$ veće od 1. Tačke $(1, -2)$ i $(1, 2)$ su 'prazne' jer funkcija nije definisana za $x = 1 .$

Započni učenje

Online grupni časovi

2217.
Logaritamska funkcija i njen grafik

2217.Logaritamska funkcija i njen grafik

2217.
Logaritamska funkcija i njen grafik