2222.

525.đ

TEKST ZADATKA

Skicirati grafik funkcije y=0,5log⁡2(x−1)2. y = 0,5 \log_2 (x - 1)^2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Logaritam je definisan kada je izraz unutar njega strogo veći od nule.

(x−1)2>0(x - 1)^2 > 0

Kvadrat bilo kog realnog broja je uvek nenegativan. Izraz je nula samo kada je x−1=0, x - 1 = 0 , odnosno x=1. x = 1 . Dakle, domen je:

Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Koristimo osobinu logaritma log⁡abn=nlog⁡a∣b∣ \log_a b^n = n \log_a |b| kako bismo pojednostavili funkciju. Važno je uvesti apsolutnu vrednost jer je osnova stepena (x−1) (x-1) u domenu mogla biti i negativna.

y=0,5⋅2log⁡2∣x−1∣=log⁡2∣x−1∣y = 0,5 \cdot 2 \log_2 |x - 1| = \log_2 |x - 1|

Definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću prema definiciji:

∣x−1∣={x−1,za x−1>0−(x−1),za x−1<0|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & \text{za } x - 1 > 0 \\ -(x - 1), & \text{za } x - 1 < 0 \end{cases}

Sada funkciju možemo zapisati kao razgranatu funkciju:

y={log⁡2(x−1),za x>1log⁡2(1−x),za x<1y = \begin{cases} \log_2 (x - 1), & \text{za } x > 1 \\ \log_2 (1 - x), & \text{za } x < 1 \end{cases}

Za crtanje grafika primećujemo da je on simetričan u odnosu na pravu x=1. x = 1 . Prvo crtamo osnovni grafik y=log⁡2x y = \log_2 x i pomeramo ga za 1 udesno da dobijemo granu za x>1. x > 1 .

Zatim tu granu preslikavamo simetrično u odnosu na vertikalnu asimptotu x=1 x = 1 kako bismo dobili deo grafika za x<1. x < 1 . Karakteristične tačke su (2,0) (2, 0) i (0,0), (0, 0) , a vertikalna asimptota je prava x=1. x = 1 .