2219.

524.d

TEKST ZADATKA

Skicirati grafik funkcije y=∣log⁡1/2∣x∣∣. y = |\log_{1/2} |x|| .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Logaritamska funkcija je definisana kada je njen argument strogo pozitivan. U ovom slučaju, argument je ∣x∣. |x| .

∣x∣>0  ⟹  x∈R∖{0}|x| > 0 \implies x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Definišemo apsolutnu vrednost argumenta x: x :

∣x∣={x,za x>0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x > 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Konstrukciju grafika vršimo u fazama. Prvo posmatramo osnovnu funkciju f1(x)=log⁡1/2x f_1(x) = \log_{1/2} x za x>0. x > 0 . Pošto je osnova 1/2<1, 1/2 < 1 , funkcija je opadajuća i prolazi kroz tačku (1,0). (1, 0) .

f1(x)=log⁡1/2xf_1(x) = \log_{1/2} x

Uvodimo unutrašnju apsolutnu vrednost f2(x)=log⁡1/2∣x∣. f_2(x) = \log_{1/2} |x| . Grafik ove funkcije je simetričan u odnosu na y y -osu, jer je funkcija parna. Deo grafika za x>0 x > 0 preslikavamo simetrično na oblast x<0. x < 0 .

f2(x)=log⁡1/2∣x∣f_2(x) = \log_{1/2} |x|

Sada definišemo spoljašnju apsolutnu vrednost celog izraza:

∣log⁡1/2∣x∣∣={log⁡1/2∣x∣,za log⁡1/2∣x∣≥0−log⁡1/2∣x∣,za log⁡1/2∣x∣<0|\log_{1/2} |x|| = \begin{cases} \log_{1/2} |x|, & \text{za } \log_{1/2} |x| \ge 0 \\ -\log_{1/2} |x|, & \text{za } \log_{1/2} |x| < 0 \end{cases}

Konačno, primenjujemo spoljašnju apsolutnu vrednost na grafik f2(x). f_2(x) . Delovi grafika koji se nalaze ispod x x -ose (gde je funkcija negativna) preslikavaju se simetrično u odnosu na x x -osu u gornju poluravan, dok delovi iznad ose ostaju nepromenjeni.

y=∣log⁡1/2∣x∣∣y = |\log_{1/2} |x||

Karakteristične tačke grafika su nule funkcije ∣x∣=1  ⟹  x=1,x=−1, |x| = 1 \implies x = 1, x = -1 , gde grafik dodiruje x x -osu. Vertikalna asimptota je prava x=0, x = 0 , kojoj grafik teži ka +∞ +\infty sa obe strane.