Eksponencijalna funkcija i njen grafik

Sadržaj

Definicija i osnovna svojstva
Grafik osnovne funkcije
Transformacije
Funkcije sa apsolutnom vrednošću u eksponentu
Razgranate eksponencijalne funkcije

1. Definicija i osnovna svojstva

Eksponencijalna funkcija je funkcija u kojoj je nepoznata u eksponentu. Najosnovniji oblik je:

$f(x) = a^x$

gde je $a > 0$ i $a \neq 1$ .

Za razliku od funkcija poput $x^2$ ili $x^3$ gde je eksponent fiksan a baza se menja, ovde je baza fiksna a eksponent je promenljiv. To znači da vrednost funkcije ne raste linearno, nego se svaki put množi istim brojem.

Šta ona zapravo radi? Eksponencijalna funkcija opisuje rast ili opadanje koje se ubrzava. Svaki sledeći korak nije za isti iznos veći od prethodnog, nego za isti faktor.

Na primer, $2^x$ daje vrednosti $1, 2, 4, 8, 16, 32\ldots$ Razlika između susednih vrednosti stalno raste: $+1, +2, +4, +8, +16\ldots$ Upravo to je eksponencijalni rast. Suprotno, $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ daje $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\ldots$ , vrednosti se prepolove na svakom koraku.

$a > 1$ : svaki sledeći korak je veći, funkcija je rastuća (npr. $2^x$ , $3^x$ )
$0 < a < 1$ : svaki sledeći korak je manji, funkcija je opadajuća (npr. $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ )

Osnovna svojstva važe za svako $a > 0$ , $a \neq 1$ :

Domen: $\mathbb{R}$
Skup vrednosti: $(0, +\infty)$ , funkcija je uvek pozitivna
Prolazi kroz tačku $(0, 1)$ jer $a^0 = 1$ za svako $a$
Nema nule, grafik nikad ne seče x-osu
Horizontalna asimptota: $y = 0$

Primer iz života je štednja u banci sa kamatom na kamatu: ako uložiš novac, svake godine ne dobijaš isti dodatak, već kamata ide na već uvećani iznos, pa se ukupna suma svaki put povećava za isti procenat, što znači da rast postaje sve brži. Upravo to je eksponencijalni rast.

2. Grafik osnovne funkcije

Da bi se nacrtao grafik $y = a^x$ , potrebno je znati kroz koju tačku prolazi, kako se ponaša na "krajevima" i nacrtati tabelu vrednosti za nekoliko konkretnih tačaka.

Opšti koraci:

Napraviti tabelu vrednosti za $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
Ucrtati tačke u koordinatni sistem
Spojiti tačke glatkom krivom, vodeći računa da se grafik približava x-osi ali je ne seče

Slučaj $a > 1$ (rastuća funkcija)

Grafik se pruža iz donjeg levog ugla (blizu x-ose), prolazi kroz $(0, 1)$ i naglo se penje u gornji desni ugao.

Primer: $y = 2^x$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$

Za $x \to -\infty$ : $y \to 0$ (teži asimptoti). Za $x \to +\infty$ : $y \to +\infty$ .

:::

Slučaj $0 < a < 1$ (opadajuća funkcija)

Grafik se pruža iz gornjeg levog ugla, prolazi kroz $(0, 1)$ i spušta se ka donjem desnom uglu, približavajući se x-osi.

Primer: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Za $x \to -\infty$ : $y \to +\infty$ . Za $x \to +\infty$ : $y \to 0$ (teži asimptoti).

:::

$y = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ : grafik $y = a^{-x}$ je refleksija grafika $y = a^x$ u odnosu na y-osu. Rastuća funkcija postaje opadajuća i obrnuto.

3. Transformacije

Sve funkcije oblika $y = c \cdot a^{x-k} + d$ nastaju pomeranjem, istezanjem ili refleksijom osnovnog grafika $y = a^x$ . Umesto da se računa nova tabela od nule, dovoljno je prepoznati koja transformacija je primenjena i primeniti je na poznati grafik.

Redosled čitanja iz formule: horizontalno pomeranje (u eksponentu), vertikalno istezanje (koeficijent ispred), refleksija (predznak), vertikalno pomeranje (slobodan član).

3.1 Pomeranje

$y = a^{x - k}$ : pomeranje za $k$ jedinica udesno duž x-ose.

$y = a^x + c$ : pomeranje za $c$ jedinica naviše duž y-ose. Horizontalna asimptota se pomera na $y = c$ .

Primer: $y = 3^{x-2} + 2$

Osnovna funkcija je $y = 3^x$ . Transformacije:

$x \to x-2$ : pomeranje za 2 jedinice udesno
$+2$ : pomeranje za 2 jedinice naviše

Karakteristični elementi:

Horizontalna asimptota: $y = 2$
Presek sa y-osom ( $x = 0$ ): $y = 3^{-2} + 2 = \frac{1}{9} + 2 = 2\frac{1}{9}$
Tačka koja odgovara $(0,1)$ na osnovnoj funkciji se pomera u $(2, 3)$

:::

Primer: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2$

Osnova $\frac{1}{2} < 1$ : opadajuća funkcija. Vertikalno pomeranje za 2 naviše.

Horizontalna asimptota: $y = 2$
Presek sa y-osom: $y = 1 + 2 = 3$ , tačka $(0, 3)$
Za $x \to +\infty$ : $y \to 2$ (teži asimptoti s desna)
Za $x \to -\infty$ : $y \to +\infty$

:::

3.2 Refleksija

$y = -a^x$ : refleksija u odnosu na x-osu. Kodomen postaje $(-\infty, 0)$ , asimptota ostaje $y = 0$ , prolazi kroz $(0, -1)$ .

Primer: $y = 2 - \left(\frac{3}{2}\right)^x$

Prepisati kao $y = -\left(\frac{3}{2}\right)^x + 2$ .

Refleksija u odnosu na x-osu: grafik ide ispod x-ose
Vertikalno pomeranje za 2 naviše: asimptota se pomera na $y = 2$
Presek sa y-osom: $y = 2 - 1 = 1$ , tačka $(0, 1)$
Nula funkcije: $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 2 \implies x = \log_{3/2} 2 \approx 1{,}71$
Funkcija je opadajuća (refleksija rastuće funkcije)

:::

3.3 Vertikalno istezanje

$y = c \cdot a^x$ za $c > 0$ : grafik se isteze vertikalno, presek sa y-osom se pomera u $(0, c)$ , asimptota ostaje $y = 0$ .

Primer: $y = 2 \cdot 3^x$ , $x \leq 3$

Osnova $3 > 1$ : rastuća funkcija
Koeficijent 2: vertikalno istezanje, presek sa y-osom u $(0, 2)$
Ograničen domen: grafik se crta samo za $x \leq 3$ , desni kraj je uključena tačka $(3, 54)$

:::

3.4 Ograničen domen

Kad je domen ograničen, grafik se crta samo na zadatom intervalu. Krajnje tačke se označavaju punom tačkom (uključena) ili praznim krugom (isključena), zavisno od toga da li su uključene u domen.

Primer: $y = 5^{-x}$ na intervalu $[-3, 0)$

Zapisati kao $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ : opadajuća funkcija
Na intervalu $[-3, 0)$ : leva granica $x = -3$ je uključena, desna $x = 0$ isključena
Vrednosti: $f(-3) = 125$ (puna tačka), $f(0) = 1$ (prazna tačka)
Skup vrednosti: $y \in (1, 125]$

:::

Kad je krajnja tačka uključena, na grafiku se crta puna tačka. Kad je isključena, crta se prazan krug. Ovo je posebno važno kod poluotvorenih intervala.

4. Funkcije sa apsolutnom vrednošću u eksponentu

Apsolutna vrednost u eksponentu daje parnu funkciju, čiji je grafik simetričan u odnosu na y-osu. Postupak je uvek isti: razviti po definiciji apsolutne vrednosti i dobiti razgranatu funkciju.

Primer: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$

Razviti po definiciji:

$y = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x, & x \geq 0 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = 2^x, & x < 0 \end{cases}$

Za $x \geq 0$ : opadajuća kriva $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , polazi iz $(0, 1)$
Za $x < 0$ : rastuća kriva $2^x$ , spaja se u $(0, 1)$
Grafik ima oblik kapije (maksimum u $(0,1)$ , teži 0 u oba smera)

:::

Primer: $y = 2^{|x|+1}$

Razviti:

$y = \begin{cases} 2^{x+1}, & x \geq 0 \\ 2^{-x+1}, & x < 0 \end{cases}$

Minimum u $(0, 2)$ , funkcija raste u oba smera od $y$ -ose
Grafik ima oblik slova V (ali zaobljen, jer su eksponencijalne krive)

:::

5. Razgranate eksponencijalne funkcije

Neke eksponencijalne funkcije su definisane različitim formulama na različitim delovima domena. To se pojavljuje kad izraz u eksponentu sadrži $|x|$ ili kad je domen eksplicitno podeljen.

Primer: $y = 2^x \cdot 2^{|x|}$

Razviti po definiciji $|x|$ :

Za $x \geq 0$ : $y = 2^x \cdot 2^x = 2^{2x} = 4^x$

Za $x < 0$ : $y = 2^x \cdot 2^{-x} = 2^0 = 1$

$y = \begin{cases} 4^x, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0 \end{cases}$

Za $x < 0$ : horizontalna poluprava $y = 1$ (isključena tačka na desnom kraju)
Za $x \geq 0$ : rastuća kriva $4^x$ počinje iz $(0, 1)$
Grafik je neprekinut u $x = 0$ jer $4^0 = 1$

:::

Primer: $y = 2^{x - |x|}$

Razviti:

Za $x \geq 0$ : $y = 2^{x-x} = 2^0 = 1$

Za $x < 0$ : $y = 2^{x-(-x)} = 2^{2x}$

$y = \begin{cases} 2^{2x}, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$

Za $x \geq 0$ : horizontalna poluprava $y = 1$
Za $x < 0$ : rastuća kriva $2^{2x}$ koja teži $0$ za $x \to -\infty$ i dostiže $1$ u $x = 0$
Grafik je neprekinut u $x = 0$

:::

Kad se dobije razgranata funkcija, uvek proveriti da li su obe grane spojene u tački gde se menja definicija. Ako vrednosti nisu jednake, grafik ima skok u toj tački.

Eksponencijalna funkcija i njen grafik

Sadržaj

1. Definicija i osnovna svojstva

2. Grafik osnovne funkcije

Slučaj $a > 1$ (rastuća funkcija)

Slučaj $0 < a < 1$ (opadajuća funkcija)

3. Transformacije

3.1 Pomeranje

3.2 Refleksija

3.3 Vertikalno istezanje

3.4 Ograničen domen

4. Funkcije sa apsolutnom vrednošću u eksponentu

5. Razgranate eksponencijalne funkcije

Lekcije iz iste oblasti

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Pojam i svojstva algoritmaa

Logaritamske jednačine

Logaritamske nejednačine

Logaritamska funkcija i njen grafik

Zadaci za vežbanje

Eksponencijalna funkcija i njen grafik

Sadržaj

1. Definicija i osnovna svojstva

2. Grafik osnovne funkcije

Slučaj a>1a > 1a>1 (rastuća funkcija)

Slučaj 0<a<10 < a < 10<a<1 (opadajuća funkcija)

3. Transformacije

3.1 Pomeranje

3.2 Refleksija

3.3 Vertikalno istezanje

3.4 Ograničen domen

4. Funkcije sa apsolutnom vrednošću u eksponentu

5. Razgranate eksponencijalne funkcije

Lekcije iz iste oblasti

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Pojam i svojstva algoritmaa

Logaritamske jednačine

Logaritamske nejednačine

Logaritamska funkcija i njen grafik

Zadaci za vežbanje

Slučaj $a > 1$ (rastuća funkcija)

Slučaj $0 < a < 1$ (opadajuća funkcija)