Logaritamske nejednačine

Primer 1: $\log_2 x < -1$

Domen: $x > 0$

Korak 1. Desnu stranu zapisati kao logaritam iste osnove:

$-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2}$

Korak 2. Osnova $2 > 1$, smer se ne menja:

$x < \frac{1}{2}$

Korak 3. Presek sa domenom:

$\boxed{x \in \left(0,\; \frac{1}{2}\right)}$

Primer 2: $\log_{1/64} x > -\dfrac{1}{2}$

Domen: $x > 0$

Korak 1. Desnu stranu zapisati kao logaritam iste osnove:

$-\frac{1}{2} = \log_{1/64}\left(\frac{1}{64}\right)^{-1/2} = \log_{1/64} 8$

Korak 2. Osnova $\dfrac{1}{64} < 1$, smer se menja:

$x < 8$

Korak 3. Presek sa domenom:

$\boxed{x \in (0,\; 8)}$

Primer 3: $\log_{1/2}(x^2 - 4x + 3) \geq -3$

Domen:

$x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

Korak 1. Desnu stranu zapisati kao logaritam iste osnove:

$-3 = \log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{1/2} 8$

Korak 2. Osnova $\dfrac{1}{2} < 1$, smer se menja:

$x^2 - 4x + 3 \leq 8 \implies x^2 - 4x - 5 \leq 0 \implies (x+1)(x-5) \leq 0$

$x \in [-1,\; 5]$

Korak 3. Presek sa domenom:

$[-1, 5] \cap \bigl((-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\bigr) = \boxed{[-1,\; 1) \cup (3,\; 5]}$

Primer 1: $\log_x 32 > 5$

Domen: $x > 0$, $x \neq 1$

Korak 1. Svesti na oblik $\log_x b \lessgtr \log_x x$. Zapisati $32 = 2^5$:

$5\log_x 2 > 5 \implies \log_x 2 > 1 = \log_x x \implies \log_x 2 > \log_x x$

Slučaj 1: $x > 1$. Osnova $> 1$, smer se ne menja:

$2 > x \implies x \in (1, 2)$

Slučaj 2: $0 < x < 1$. Osnova $< 1$, smer se menja:

$2 < x$

Presek sa uslovom $0 < x < 1$: prazan skup.

$\boxed{x \in (1,\; 2)}$

Primer 2: $\log_{2x}(2 - x) < 1$

Domen:

$2x > 0 \implies x > 0$

$2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$

$2 - x > 0 \implies x < 2$

Presek: $x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Korak 1. Zapisati $1 = \log_{2x}(2x)$:

$\log_{2x}(2 - x) < \log_{2x}(2x)$

Slučaj 1: $2x > 1$, tj. $x > \dfrac{1}{2}$. Smer se ne menja:

$2 - x < 2x \implies x > \frac{2}{3}$

Presek sa uslovom i domenom: $x \in \left(\dfrac{2}{3}, 2\right)$

Slučaj 2: $0 < 2x < 1$, tj. $x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right)$. Smer se menja:

$2 - x > 2x \implies x < \frac{2}{3}$

Presek sa uslovom: $x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right)$

Konačno rešenje (unija oba slučaja):

$\boxed{x \in \left(0,\; \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{2}{3},\; 2\right)}$

Primer: $\log_{1/3}(\log_4(x^2 - 5)) > 0$

Domen:

$x^2 - 5 > 0 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)$

$\log_4(x^2 - 5) > 0 \implies x^2 - 5 > 4^0 \implies x^2 > 6 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$

Presek (stroži uslov): $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$

Korak 1. Zapisati $0 = \log_{1/3} 1$. Osnova $\dfrac{1}{3} < 1$, smer se menja:

$\log_4(x^2 - 5) < 1$

Korak 2. Osnova $4 > 1$, smer se ne menja:

$x^2 - 5 < 4^1 \implies x^2 < 9 \implies x \in (-3,\; 3)$

Korak 3. Presek sa domenom:

$(-3, 3) \cap \bigl((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)\bigr) = \boxed{(-3,\; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6},\; 3)}$