2369.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku nejednačinu:

log⁡0,3log⁡6x2+xx+4<0\log_{0,3} \log_6 \frac{x^2 + x}{x + 4} < 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

{x2+xx+4>0log⁡6x2+xx+4>0\begin{cases} \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0 \\ \log_6 \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0 \end{cases}

Rešavamo drugu nejednačinu domena log⁡6x2+xx+4>0. \log_6 \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0 . Kako je osnova 6>1, 6 > 1 , znak nejednakosti se ne menja:

x2+xx+4>60  ⟹  x2+xx+4>1\frac{x^2 + x}{x + 4} > 6^0 \implies \frac{x^2 + x}{x + 4} > 1

Sređujemo nejednačinu x2+xx+4−1>0: \frac{x^2 + x}{x + 4} - 1 > 0 :

x2+x−(x+4)x+4>0  ⟹  x2−4x+4>0\frac{x^2 + x - (x + 4)}{x + 4} > 0 \implies \frac{x^2 - 4}{x + 4} > 0

Faktorišemo brojilac x2−4=(x−2)(x+2) x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) i ispitujemo znak racionalnog izraza:

(x−2)(x+2)x+4>0\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 4} > 0
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈(−4,−2)x \in (-4, -2)
x∈(−2,2)x \in (-2, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x+4x+4
− -
+ +
+ +
+ +
x+2x+2
− -
− -
+ +
+ +
x−2x-2
− -
− -
− -
+ +
ZnakZnak
− -
+ +
− -
+ +

Domen nejednačine je skup vrednosti za koje je izraz pozitivan (primetimo da uslov x2+xx+4>1 \frac{x^2+x}{x+4} > 1 automatski zadovoljava i prvi uslov >0 > 0 ):

D:x∈(−4,−2)∪(2,+∞)D: x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)

Sada rešavamo polaznu nejednačinu. Pošto je osnova spoljašnjeg logaritma 0,3<1, 0,3 < 1 , prilikom oslobađanja logaritma znak nejednakosti se okreće:

log⁡6x2+xx+4>(0,3)0  ⟹  log⁡6x2+xx+4>1\log_6 \frac{x^2 + x}{x + 4} > (0,3)^0 \implies \log_6 \frac{x^2 + x}{x + 4} > 1

Kako je osnova 6>1, 6 > 1 , znak ostaje isti:

x2+xx+4>61  ⟹  x2+xx+4−6>0\frac{x^2 + x}{x + 4} > 6^1 \implies \frac{x^2 + x}{x + 4} - 6 > 0

Sređujemo izraz:

x2+x−6(x+4)x+4>0  ⟹  x2−5x−24x+4>0\frac{x^2 + x - 6(x + 4)}{x + 4} > 0 \implies \frac{x^2 - 5x - 24}{x + 4} > 0

Nule kvadratnog polinoma x2−5x−24 x^2 - 5x - 24 su x1=−3 x_1 = -3 i x2=8, x_2 = 8 , pa je faktorisan oblik (x+3)(x−8): (x + 3)(x - 8) :

(x+3)(x−8)x+4>0\frac{(x + 3)(x - 8)}{x + 4} > 0
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈(−4,−3)x \in (-4, -3)
x∈(−3,8)x \in (-3, 8)
x∈(8,+∞)x \in (8, +\infty)
x+4x+4
− -
+ +
+ +
+ +
x+3x+3
− -
− -
+ +
+ +
x−8x-8
− -
− -
− -
+ +
ZnakZnak
− -
+ +
− -
+ +

Rešenje ove nejednačine je:

x∈(−4,−3)∪(8,+∞)x \in (-4, -3) \cup (8, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja nejednačine i domena D: D :

x∈((−4,−3)∪(8,+∞))∩((−4,−2)∪(2,+∞))x \in ((-4, -3) \cup (8, +\infty)) \cap ((-4, -2) \cup (2, +\infty))

Presek skupova daje konačan rezultat:

x∈(−4,−3)∪(8,+∞)x \in (-4, -3) \cup (8, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti