2371.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku nejednačinu:

log⁡0,2(x2−x−2)>log⁡0,2(−x2+2x+3)\log_{0,2}(x^2 - x - 2) > \log_{0,2}(-x^2 + 2x + 3)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

{x2−x−2>0−x2+2x+3>0\begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases}
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,2)x \in (-1, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x2−x−2x^2 - x - 2
++
––
++
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,3)x \in (-1, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
−x2+2x+3-x^2 + 2x + 3
––
++
––

Domen je presek rešenja x∈(−∞,−1)∪(2,+∞) x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) i x∈(−1,3): x \in (-1, 3) :

D:x∈(2,3)D: x \in (2, 3)

Pošto je osnova logaritma 0,2 0,2 manja od 1, pri oslobađanju logaritama menja se smer znaka nejednakosti:

x2−x−2<−x2+2x+3x^2 - x - 2 < -x^2 + 2x + 3

Sređujemo nejednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu:

2x2−3x−5<02x^2 - 3x - 5 < 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,2,5)x \in (-1, 2,5)
x∈(2,5,+∞)x \in (2,5, +\infty)
2x2−3x−52x^2 - 3x - 5
++
––
++

Rešenje kvadratne nejednačine je x∈(−1,2,5). x \in (-1, 2,5) . Konačno rešenje dobijamo u preseku sa domenom D:x∈(2,3): D: x \in (2, 3) :

x∈(−1,2,5)∩(2,3)x \in (-1, 2,5) \cap (2, 3)

Konačno rešenje nejednačine je:

x∈(2,2,5)x \in (2, 2,5)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti