Podeli

2383.
Logaritamske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x - \frac{1}{2} > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}

Rešavanjem sistema dobijamo:

\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 1 \end{cases} \implies x \in (1, +\infty)

Koristeći pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x) \cdot g(x)) ,$ transformišemo levu stranu:

\log_{1/2} \left[ \left( x - \frac{1}{2} \right)(x - 1) \right] \geqslant 1

Broj 1 na desnoj strani zapisujemo kao logaritam sa osnovom $1/2 :$

\log_{1/2} \left[ \left( x - \frac{1}{2} \right)(x - 1) \right] \geqslant \log_{1/2} \frac{1}{2}

Pošto je osnova logaritma $a = 1/2 < 1 ,$ funkcija je opadajuća, pa se pri oslobađanju logaritma znak nejednakosti okreće:

\left( x - \frac{1}{2} \right)(x - 1) \leqslant \frac{1}{2}

Množimo zagrade i sređujemo kvadratnu nejednačinu:

x^2 - x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \\ x^2 - \frac{3}{2}x \leqslant 0

Faktorišemo izraz na levoj strani:

x \left( x - \frac{3}{2} \right) \leqslant 0

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 3/2)

x \in (3/2, +\infty)

x

-

+

+

x - 3/2

-

-

+

x(x - 3/2)

+

-

+

Rešenje kvadratne nejednačine je interval gde je izraz negativan ili nula:

x \in \left[ 0, \frac{3}{2} \right]

Konačno rešenje dobijamo u preseku dobijenog intervala i domena $x \in (1, +\infty) :$

x \in \left[ 0, \frac{3}{2} \right] \cap (1, +\infty) \implies x \in \left( 1, \frac{3}{2} \right]

2383.Logaritamske nejednačine