2384. Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Logaritmand mora biti strogo veći od nule.

3^x - 1 > 0 \implies 3^x > 1 \implies 3^x > 3^0 \implies x > 0

Sredimo osnove logaritama koristeći pravilo $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$ Znamo da je $\frac{1}{4} = 4^{-1} .$

\log_{1/4} \frac{3^x - 1}{16} = \log_{4^{-1}} \frac{3^x - 1}{16} = -\log_4 \frac{3^x - 1}{16}

Primenimo pravilo za logaritmu količnika $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c .$

-\log_4 \frac{3^x - 1}{16} = -(\log_4(3^x - 1) - \log_4 16) = -(\log_4(3^x - 1) - 2)

Uvedimo smenu $t = \log_4(3^x - 1) .$ Polazna nejednačina sada postaje:

t \cdot (-(t - 2)) \leqslant \frac{3}{4}

Sredimo kvadratnu nejednačinu:

-t^2 + 2t \leqslant \frac{3}{4} \implies -t^2 + 2t - \frac{3}{4} \leqslant 0

Pomnožimo celu nejednačinu sa -4 (menja se znak nejednakosti) kako bismo dobili lakši oblik:

4t^2 - 8t + 3 \geqslant 0

Nađemo nule kvadratne funkcije $4t^2 - 8t + 3 = 0 :$

t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8} \implies t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{3}{2}

Rešenje po $t$ je unija intervala:

t \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)

Vratimo smenu za prvi slučaj $t \leqslant \frac{1}{2} :$

\log_4(3^x - 1) \leqslant \frac{1}{2} \implies 3^x - 1 \leqslant 4^{1/2} \implies 3^x - 1 \leqslant 2 \implies 3^x \leqslant 3 \implies x \leqslant 1

Vratimo smenu za drugi slučaj $t \geqslant \frac{3}{2} :$

\log_4(3^x - 1) \geqslant \frac{3}{2} \implies 3^x - 1 \geqslant 4^{3/2} \implies 3^x - 1 \geqslant 8 \implies 3^x \geqslant 9 \implies x \geqslant 2

Uzimajući u obzir domen $x > 0 ,$ dobijamo konačno rešenje:

x \in (0, 1] \cup [2, +\infty)

546.i