Logaritamska nejednačina sa apsolutnom vrednošću

Prvo određujemo domen nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ 2|x| - 1 > 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu domena $x^2 - 4 > 0 .$ Nule su $x = -2$ i $x = 2 .$

x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu domena $2|x| - 1 > 0 ,$ odnosno $|x| > \frac{1}{2} .$

x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)

Presekom ova dva uslova dobijamo konačan domen.

D: x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Pošto je osnova logaritma $1/9$ (između 0 i 1), pri prelasku na argumente znak nejednakosti se okreće.

x^2 - 4 \leqslant 2|x| - 1

Definišemo apsolutnu vrednost $|x| .$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zbog domena $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ,$ razmatramo dva slučaja.

Slučaj 1: $x \in (2, +\infty) .$ Tada je $|x| = x .$

x^2 - 4 \leqslant 2x - 1 \implies x^2 - 2x - 3 \leqslant 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu $x^2 - 2x - 3 \leqslant 0 .$ Nule su $x_1 = -1, x_2 = 3 .$

x \in [-1, 3]

U preseku sa uslovom slučaja $x > 2 ,$ dobijamo prvi deo rešenja.

x \in (2, 3]

Slučaj 2: $x \in (-\infty, -2) .$ Tada je $|x| = -x .$

x^2 - 4 \leqslant 2(-x) - 1 \implies x^2 + 2x - 3 \leqslant 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu $x^2 + 2x - 3 \leqslant 0 .$ Nule su $x_1 = -3, x_2 = 1 .$

x \in [-3, 1]

U preseku sa uslovom slučaja $x < -2 ,$ dobijamo drugi deo rešenja.

x \in [-3, -2)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in [-3, -2) \cup (2, 3]

546.z