2385.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu: log⁡1/9(x2−4)⩾log⁡1/9(2∣x∣−1) \log_{1/9}(x^2 - 4) \geqslant \log_{1/9}(2|x| - 1)

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

{x2−4>02∣x∣−1>0\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ 2|x| - 1 > 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu domena x2−4>0. x^2 - 4 > 0 . Nule su x=−2 x = -2 i x=2. x = 2 .

x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu domena 2∣x∣−1>0, 2|x| - 1 > 0 , odnosno ∣x∣>12. |x| > \frac{1}{2} .

x∈(−∞,−1/2)∪(1/2,+∞)x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)

Presekom ova dva uslova dobijamo konačan domen.

D:x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)D: x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

Pošto je osnova logaritma 1/9 1/9 (između 0 i 1), pri prelasku na argumente znak nejednakosti se okreće.

x2−4⩽2∣x∣−1x^2 - 4 \leqslant 2|x| - 1

Definišemo apsolutnu vrednost ∣x∣. |x| .

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zbog domena x∈(−∞,−2)∪(2,+∞), x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) , razmatramo dva slučaja.

Slučaj 1: x∈(2,+∞). x \in (2, +\infty) . Tada je ∣x∣=x. |x| = x .

x2−4⩽2x−1  ⟹  x2−2x−3⩽0x^2 - 4 \leqslant 2x - 1 \implies x^2 - 2x - 3 \leqslant 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu x2−2x−3⩽0. x^2 - 2x - 3 \leqslant 0 . Nule su x1=−1,x2=3. x_1 = -1, x_2 = 3 .

x∈[−1,3]x \in [-1, 3]

U preseku sa uslovom slučaja x>2, x > 2 , dobijamo prvi deo rešenja.

x∈(2,3]x \in (2, 3]

Slučaj 2: x∈(−∞,−2). x \in (-\infty, -2) . Tada je ∣x∣=−x. |x| = -x .

x2−4⩽2(−x)−1  ⟹  x2+2x−3⩽0x^2 - 4 \leqslant 2(-x) - 1 \implies x^2 + 2x - 3 \leqslant 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu x2+2x−3⩽0. x^2 + 2x - 3 \leqslant 0 . Nule su x1=−3,x2=1. x_1 = -3, x_2 = 1 .

x∈[−3,1]x \in [-3, 1]

U preseku sa uslovom slučaja x<−2, x < -2 , dobijamo drugi deo rešenja.

x∈[−3,−2)x \in [-3, -2)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x∈[−3,−2)∪(2,3]x \in [-3, -2) \cup (2, 3]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti