2386.

Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan:

Rešavamo sistem nejednačina za domen. Koreni kvadratne jednačine $x^2 - 4x + 3 = 0$ su $x_1 = 1$ i $x_2 = 3 ,$ pa je rešenje treće nejednačine $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) .$

Presekom ovih uslova dobijamo domen nejednačine:

Zapisujemo nulu na desnoj strani kao logaritam sa osnovom $x-3 :$

Sada razdvajamo rešavanje na dva slučaja, u zavisnosti od toga da li je osnova logaritma između 0 i 1, ili veća od 1. **Slučaj 1:** Osnova je između 0 i 1.

Kada je osnova između 0 i 1, logaritamska funkcija je opadajuća, pa se znak nejednakosti menja:

Sređujemo kvadratnu nejednačinu:

Nalazimo korene odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2 - 4x + 2 = 0 :$

Rešenje kvadratne nejednačine je:

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom Slučaja 1, $x \in (3, 4) .$ Kako je $2 + \sqrt{2} \approx 3.414 ,$ presek je:

**Slučaj 2:** Osnova je veća od 1.

Kada je osnova veća od 1, logaritamska funkcija je rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti:

Sređujemo kvadratnu nejednačinu:

Rešenje ove kvadratne nejednačine je interval između korena:

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom Slučaja 2, $x > 4 .$ Kako je $2 + \sqrt{2} \approx 3.414 < 4 ,$ presek je prazan skup:

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz Slučaja 1 i Slučaja 2. Sva rešenja pripadaju domenu.