2395.

Logaritamske nejednačine

Prvo postavljamo uslove definisanosti logaritma. Osnova mora biti veća od nule i različita od jedan, a argument mora biti veći od nule:

Rešavamo uslove za osnovu logaritma:

Rešavamo uslov za argument logaritma:

Presekom svih uslova dobijamo domen nejednačine:

Zapisujemo broj $1$ kao logaritam sa osnovom $2x+3 :$

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od osnove logaritma. Prvi slučaj je kada je osnova veća od $1 .$ Tada se znak nejednakosti ne menja:

Rešavamo nejednačinu za prvi slučaj:

Nalazimo nule kvadratnog trinoma $x^2 - 2x - 3 = 0 :$

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je trinom negativan između nula:

Tražimo presek dobijenog rešenja sa uslovom prvog slučaja ($x > -1$) i domenom ($x \neq 0$):

Drugi slučaj je kada je osnova između $0$ i $1 .$ Tada se znak nejednakosti menja:

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

Trinom je pozitivan van intervala između nula:

Tražimo presek dobijenog rešenja sa uslovom drugog slučaja ($x \in \left(-\frac{3}{2}, -1\right)$) i domenom:

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja: