2390. Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Osnova logaritma mora biti veća od nule i različita od 1, a argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

\begin{cases} 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}

Rešavamo uslove za osnovu logaritma:

x > 0 \quad \text{i} \quad x \neq \frac{1}{2}

Rešavamo uslov za argument logaritma:

x^2 - 5x + 6 > 0 \implies (x-2)(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)

Presekom ovih uslova dobijamo domen nejednačine:

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup (3, +\infty)

Zapisujemo broj 1 kao logaritam sa osnovom $2x$ da bismo rešili nejednačinu:

\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < \log_{2x}(2x)

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od osnove logaritma. Prvi slučaj je kada je osnova veća od 1. Tada se znak nejednakosti ne menja.

2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}

Rešavamo nejednačinu za prvi slučaj:

\begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &< 2x \\ x^2 - 7x + 6 &< 0 \\ (x-1)(x-6) &< 0 \implies x \in (1, 6) \end{aligned}

Rešenje prvog slučaja dobijamo presekom dobijenog rešenja, uslova za osnovu i domena:

x \in (1, 6) \cap \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) \cap \left( \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup (3, +\infty) \right) \implies x \in (1, 2) \cup (3, 6)

Drugi slučaj je kada je osnova između 0 i 1. Tada se znak nejednakosti menja.

0 < 2x < 1 \implies 0 < x < \frac{1}{2}

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

\begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &> 2x \\ x^2 - 7x + 6 &> 0 \\ (x-1)(x-6) &> 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (6, +\infty) \end{aligned}

Rešenje drugog slučaja dobijamo presekom dobijenog rešenja, uslova za osnovu i domena:

x \in \left( (-\infty, 1) \cup (6, +\infty) \right) \cap \left( 0, \frac{1}{2} \right) \cap \left( \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup (3, +\infty) \right) \implies x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup (1, 2) \cup (3, 6)

549.b